弗雷格的量词—变元理论*

杨红玉

弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）是现代逻辑的创始人，也是公认的分析哲学和语言哲学的创始人，他的思想对20世纪的逻辑、哲学以及与之相关的学科产生了重要的影响。达米特指出，在哲学史上，有三项殊荣归属于弗雷格：首先，弗雷格发明了一种形式语言，并建立了逻辑史上第一个谓词逻辑系统，从而开创了用形式语言研究逻辑的新时代；其次，弗雷格所开创的逻辑方法被证明是研究哲学的重要方法，他的哲学逻辑的方法促进了其后的哲学重心的转移——从笛卡尔所开创的认识论研究向语言分析的转向；最后，弗雷格用数学的方法研究逻辑，反过来也促进了数学哲学的巨大发展，数学哲学其后的许多成就都受到了弗雷格莫大的启迪。①而在这三大成就里，起关键和基础作用的就是弗雷格的量词—变元理论。

在弗雷格事业的开端，正是由于量词—变元概念的发现，引领了他对逻辑的看法，量词和量化理论是弗雷格逻辑哲学体系的基础和核心理论，“量词也是弗雷格最重要的发现和贡献”②。关于弗雷格的量词—变元理论，本文将关注以下几个问题：量词—变元概念提出的理论背景——传统逻辑的特点和局限性；量词—变元理论是如何被弗雷格发现的；量词—变元理论带给了弗雷格怎样的看待逻辑和哲学的视角，以及这些视角所带来的对逻辑和哲学的影响；弗雷格的量词—变元理论所遗留的问题。

一、传统逻辑的特点和局限性

作为一个数学家，弗雷格在自己事业的开始阶段，其兴趣并不在于改革传统逻辑，而是希望为算术提供一个坚实的基础。在弗雷格看来，算术的基础就是逻辑，因此，从逻辑推出全部的算术成为弗雷格的行动纲领和目标。面对这样的目标，弗雷格首先需要解决的就是如何用逻辑的方法表示算术的常用语言表达方式，如“每一个数都有一个后承”，“每一个偶数都是两个素数之和”等。而这样的句子都包含了多个量词，这是传统逻辑所无法表达的。就是在探索算术基础的过程中，弗雷格看到了传统逻辑的局限性和缺点。

在古希腊逻辑发轫之初，人们关注的主要是形如“所有人都是会死的”即“S是P”这样句子的推理，亚里士多德所建立的三段论推理系统也专注于此。在“S是P”这样的句式的基础上，加上否定，再加上两个基本的量词——全称量词和特称量词，就形成了传统逻辑的四个基本命题的句式：“所有S是P”，“所有S不是P”，“有S是P”，“有S不是P”。三段论推理关注的就是从拥有一个共同项的两个命题出发，可以有效地得出怎样的结论。在三段论推理中，推理形式和日常语言的形式是紧密相关的甚至是一致的，虽然在进行逻辑分析的时候，亚里士多德引进了S、P这样的字母依次表示主项和谓项，但三段论推理并没有真正做到形式化：一方面，句子中的肯定项、否定项以及量词都没有得到形式的刻画，另一方面，三段论推理在亚里士多德那里并没有构成演算，最重要的是，亚里士多德对命题的形式刻画研究并没有突破自然语言的句型，三段论依旧关注的是主谓式句子的性质和推理。虽然三段论推理代表了传统逻辑的最高成就，但是推理形式过分依赖于日常语言形式，还是使得传统逻辑处理句子的能力受到很大的局限。

首先，传统逻辑不能处理包含个体词的语句的推理问题。逻辑上把主语是个体词的语句称之为单称命题，虽然亚里士多德在划分命题类型的时候提及了单称命题，但是其在三段论推理中却排除掉单称命题，中世纪及以后的逻辑沿袭了亚里士多德的做法。尽管对亚里士多德在三段论推理中排除掉个体词的原因，逻辑学家们意见不一，但能够确定的是，个体词的引入会给三段论推理带来混乱。因此也可以说，亚里士多德逻辑是处理不了个体词的。这种情况经过中世纪的漫长发展也没有得到改变。

其次，亚里士多德的逻辑只能处理包含一个量词的句子情况，而对包含两个甚至多个的叠置量词的复杂句子，如“每个人都会嫉妒别人（Everybody envies somebody）”，则一直无能为力。与此相联系，亚里士多德的逻辑也处理不了关系语句，如“约翰嫉妒汤姆（John envies Tom）”。从亚里士多德和斯多葛学派开始，逻辑学家们一直想解决包含多个量词的句子的推理问题，经院逻辑学家们甚至为此提出了各种复杂的解决方案，但一直没有成功，由此导致逻辑自亚里士多德以后一直裹足不前。

二、量词—变元理论是如何被弗雷格发现的

弗雷格认为中世纪的逻辑学家在处理包含多个量词的语句的时候，总是过多地关注语句的语法结构，才误导了逻辑学的研究方向，阻止了中世纪逻辑学的深入发展。如，对于语句“每个人都会嫉妒别人（Everybody envies somebody）”，这样的语句中包含着两个量词，中世纪的哲学家认为要应对的问题是：如何表达一个范围（somebody）包含于另一个范围（everybody）之中？而这样提出问题的方式有两个疑难之处需要处理：首先，在这个句子中，中世纪的逻辑学家们之所以认为“somebody”包含于另一个范围“everybody”之中，并无确定的规则，这种解释无非是遵循一种语言习惯，即在语句中出现靠后的普遍词包含于出现靠前的普遍词中。其次，这个语句中只包含了两个量词，而一旦语句中出现三个或更多的量词，其包含关系以及相互之间的范围关系会更加复杂，刻画的难度更会成倍地增加。

面对中世纪逻辑学家的失败，弗雷格认识到了自然语言的不完善性：“当我致力于满足这种最严格的要求时，我发现语言的不完善是一种障碍，在现有的各种最笨拙的表达中都能出现这种不完善性，关系越复杂，就越不能达到我的目的所要求的精确性。”③于是弗雷格毅然抛弃了自然语言的诱惑和传统逻辑的做法，决定模仿算术的形式语言，发明出新的纯思维的“概念语言”，也就是在此过程中，量词—变元概念被发现。

弗雷格首先把数学中函数—自变元的概念引入对句子结构的分析中。在处理直言命题的分类时，面对“苏格拉底是会死的（Socrates is mortal）”和“所有人都是会死的（Everyone is mortal）”两个句子时，传统逻辑把他们都处理为SAP命题（全称肯定命题），而实际上，这两个句子有两个重要的区别。首先，“所有人（everyone）”是一个特殊的语词，它占据着主语的位置，貌似是一个专名，而实际上和“苏格拉底”、“司各脱”这样真正的专名是截然不同的。因为这个语词还表达着数量，与相关的域有关。逻辑上把“everything”、“something”、“nothing”这类的语词叫做“普遍词（general terms）”，以示与专名的区别。处理这类普遍词的方式体现了逻辑的能力。其次，虽然两个句子中的系词都是“is”，但表达的关系是不同的，第一个句子表达的是分子与类之间的关系，第二个句子表达的是类与类之间的关系。这样的区分在数学中非常重要，对此传统逻辑却无能为力。面对此种情况，弗雷格的洞见之一就是把数学中的函数—自变元概念引入对句子的表达。

在弗雷格看来，函数在数学上虽然已经具有了很多引申的涵义，但实际上，“函数最主要的特点就是其不饱和性”④，自变元在函数中并不是一个必要的组成部分，而是表示插入内容位置的符号。对自变元的每一次指派，都会产生一个函数的值。弗雷格认为，概念是用来谓述对象的，其自身也是不饱和的，相对于每一个代入其中的专名，都将会产生或真或假的真值，概念和函数具有相似性。因此，弗雷格对函数进行了扩展，并用函数的方式来表达概念。而与概念词相对照的是，专名用来表达对象，对象是完整的和饱和的。这样一来，“苏格拉底是会死的”这个语句就被处理为Fa的形式，a代表专名“苏格拉底”，F表示概念“会死的”，这句话表示了一个对象处于一个概念之下的关系。“苏格拉底是会死的”也被弗雷格称为原子句。而在“所有人都是会死的”这个句子中，“人”和“会死的”都是概念词，它们谓述同一个对象，并且它们之间还存在一种条件性关系——“一个对象如果是人，那么他是会死的”，而“所有的”则代表了对象的数量和范围。

而为了表示对象的数量和范围，弗雷格引进了量词—变元这个概念：“在一个判断的表达中，如果在自变元的位置上代入一个德文字母，并且在内容线上画出一个凹处，并使这个德文字母处于这个凹处，它就意味着这样一个判断：无论将什么看作其自变元，那个函数都是一个事实。”⑤弗雷格的符号系统因为印刷的不方便，已经被其后的逻辑学家改进，上面的量词—变元表达符号在现代逻辑中已经被Ax所代替。引进量—变元之后之后，“所有人都是会死的（Everyone is mortal）”这句话就可以表示为“对任一事物x而言，如果x是人，那么x是会死的”。这样一来，普遍词“everyone”就显示出了与专名不一样的逻辑性质，而两种不同的关系——分子与类的关系以及类与类的关系，在弗雷格的形式语言中，都得到了很好的刻画。

从量词—变元理论出发，弗雷格把复杂的句子看做是由一系列步骤构成的过程。一个包含两个普遍词的语句，如“每个人都会嫉妒别人（Everybody envies somebody）”，就可以看做是由两步构成的，其中，第一步是将everybody从句子中去掉，而代之以希腊字母“ξ”，原来的句子就变为“ξ envies somebody”，这样一来，“envies somebody”就成了一个一元谓词，而ξ代表一个空位，一个表明专名插入位置的空位，如“John envies somebody”“Mary envies somebody”等，而“Everybody”就可以理解为所有专名代入后所形成的语句都是真的。第二步，我们再将“John envies somebody”中的“somebody”去掉，而代之以希腊字母“λ”，原来的语句就变为“John envies λ”，λ和ξ一样，代表一个空位，一个表明专名插入位置的空位，因而可以形成语句“John envies Tom”，“John envies David”等，就“somebody”而言，“John envies somebody”是真的，当且仅当，至少有一个专名代入后形成的语句是真的。这样一来，弗雷格不仅将语句看作是由诸阶段构成的，而且他还把每个普遍词的真之条件适用于每个引进它的那个阶段，这样的做法，既解决了句法问题，又解决了语义问题。

弗雷格的另一个洞见就是通过省略一个专名的多次出现来构建复合谓词。弗雷格的量词总是与变元联系在一起使用，量词后面的变元指明了量词的作用范围，变元也因此被称为约束变元。约束变元与量词有相互指涉的关系：“约束变元被用在量词中，以确定随后要相互指涉的是哪个量词；然后它被用在紧接着其后的语句中，反过来涉及了那个相应的量词。”⑥对于语句“每个人都会嫉妒别人（Everybody envies somebody）”，我们依次可以用x、y两个变元来表示两个不同的约束变元，它们分别被全称量词和存在量词所约束，以表示每个量词作用的范围，这样一来，语句“每个人都会嫉妒别人（Everybody envies somebody）”就可以表示为Ax-y（Rx→（Ry∧Exy））（对于任一事物x而言，如果它是人，那么存在一个y，y是人，并且x嫉妒y。其中，R、E分别表示“人”和“嫉妒”）。约束变元与量词的相互指涉，是弗雷格量词理论和传统逻辑量词最大的不同。正是量词的这种特点，使得弗雷格能够进一步处理包含多个量词的语句和表达关系的语句，从而使得逻辑的表达能力大为增强。

三、量词—变元理论在逻辑学方面的影响

量词—变元理论的发现，带给了弗雷格关于逻辑和哲学的新的视角和洞见，并引发了逻辑和哲学的双重革命。

在逻辑方面，首先，量词—变元概念的发现，使得弗雷格在逻辑史上第一次能够处理包含多个量词的语句和表达关系的语句，逻辑的表达能力大大增强。量词理论带给弗雷格与以前的所有逻辑学家截然不同的视角，正是从发现量词—变元理论的过程中，弗雷格发现了自然语言的不完善。弗雷格从一开始就放弃了自然语言，并发明了全新的表达普遍性的方法，新的逻辑体系呼之欲出。

其次，对于弗雷格而言，句子是一步步构建的观点是语言分析的关键，自此，逻辑才和其他的哲学分支真正区别开来：逻辑并非像其他哲学分支一样关注的是一定范围内语词的意义，而是关注语词所属的不同类型，以及由此所形成的不同的构建原子命题的途径。

最后，正是通过量词—变元的理论，人们第一次发现亚里士多德的词项逻辑和斯多噶学派的命题逻辑原来存在如此紧密的联系。涅尔夫妇认为：“把量词应用于约束变元是现代逻辑的符号体系和方法的主要特点，这一特点使得它不仅优于普通语言，而且优于布尔所使用的代数类型的符号体系……认为对约束变元使用量词是19世纪最伟大的理智发明之一，这是不过分的。”⑦当代逻辑学家达米特则认为：“摩尔将罗素的摹状词理论称为哲学的典范，这个荣誉更应该给予弗雷格所发现的量词理论，正是在这个基础上，逻辑才有了更深远的进步。”⑧

四、量词—变元理论在哲学方面的影响

量词—变元理论的发现，在哲学方面也产生了重大而深远的影响。正是在发现量词—变元理论的过程中，弗雷格区分了专名和概念，语言以及语言所表达的东西，涵义和意谓等，这些都是日后兴起的语言哲学的关键术语，新的哲学形态蓄势待发。对量词—变元理论的关注和对心理主义倾向的拒斥，促使了哲学以后的语言转向。新的逻辑理论和新的对数学基础的思考，促使数学哲学成为20世纪以来活跃的哲学分支。

首先，量词—变元理论的发现促使了哲学重心的转移，即从认知向语言的转向。哲学发展的每一个阶段，都有其侧重点和重心，所谓“重心”，在达米特看来是指“某些哲学分支是更基本的，其他哲学分支的很多问题的解决都依赖于这个重心领域内新的方法的创建”⑨。哲学史上，笛卡尔实现了传统哲学从本体论到认识论的转移，笛卡尔之后的整个哲学的发展都以认识论为基础，这样的状况一直持续到20世纪。而基于量词—变元理论所带来的视角，弗雷格以自己的行动表明新的逻辑形态与认识论无关，这样一来，新的逻辑而不是认识论成为哲学的出发点，哲学呈现出新的面貌。弗雷格以自己的行动推动了哲学重心的转移。

其次，量词—变元理论的发现，使得弗雷格成为分析哲学的创始人，日后分析哲学的主要术语和重要议题都来自于弗雷格。对象和概念之间的联系和区别，一直是哲学史上的重要而核心的问题之一，哲学家对这个问题的回答奠定了其关于本体论和认识论的基本看法。虽然在不同的历史阶段，这个问题会呈现出不同的历史形态，如演变为个体和普遍、殊相和共相等的争论，但对这个问题的关注一直持续了哲学的整个发展历程。由量词—变元理论所提供的独特视角，弗雷格认识到专名是真正的逻辑主语，而概念词是用来谓述对象的，概念的最大特点就是其谓述性；量词是对概念词的限定，用来表明了对象的范围，通过对量词域内对象的指派，句子有了自己确定的真值。在此基础上，弗雷格进一步区分了专名、概念词以及句子的涵义和意谓。这样一来，专名、概念、意义、真等分析哲学的重要概念和议题在弗雷格著作中都已经出现，弗雷格也因此被认为是分析哲学的开创者。

最后，量词—变元理论也使得数学哲学成为哲学的重要的活跃的分支。作为一个数学家，弗雷格关注的重点是数学的基础，逻辑对于弗雷格而言，是进行数学基础分析的工具和手段。量词—变元理论使得弗雷格能够处理包含多个量词的句子，而这样的句子正是数学中的常见句型。对数的性质的考察，对数词功能的分析，对自然数性质的重新界定和对自然数的重新定义，即使最后罗素所发现的悖论使得弗雷格的将数学还原为逻辑的纲领宣告破产，弗雷格的工作依然使得数学的基础受到了20世纪哲学的极大关注。即使是在今天的数学哲学的研究领域中，“源于弗雷格思想的所谓新弗雷格主义，是最近十多年来数学哲学研究中相对活跃的课题，这也显示了弗雷格经久不衰的影响”⑩。

五、弗雷格量词—变元理论所留下的问题

尽管弗雷格的量词—变元理论已经成为现代逻辑的基础概念和形式语言的基本表达工具，但围绕着量词—变元的语义解释问题，即量化问题，哲学界却一直争议不断。

在弗雷格的形式语言和形式系统中，只有一个量词，即全称量词，特称量词可以通过量词之间的互定义性，由全称量词加否定词得到，因此，弗雷格的量化理论主要是关于全称量词解释的理论。在其著作中，弗雷格多次对全称量词进行解释。在《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》中，在构造了全称量词后，弗雷格对其进行了语义的解释：“它就意谓下面这样一个判断：无论把什么看作是其自变元，那个函数都是一个事实。”［11］这是关于量化的一个简单解释，其意思是，一个全称命题为真，则意谓着所有对自变元的代入，其结果总是真的。

《概念文字》发表后，鉴于当时的哲学界尤其是数学界对这种新的形式语言的陌生和不理解，弗雷格撰写了一系列文章来解释自己的哲学思想，包括《函数和概念》、《概念和对象》、《指称和意谓》、《逻辑导论》等。在这些文章里，弗雷格对量词和量化进行进一步论述：“只有在这里（论述普遍性时——作者注）才促使我们把一个思想分析为一些不是思想的部分。最简单的情况是二分的情况。各部分是不同种类的：一类是不饱和的，另一类是饱和的（完整的）。这里必须考虑被传统逻辑表示为单称判断的思想。这样一个思想表达了一个对象的某种情况。表达这样一个思想的句子是由一个专名和一个谓词部分组成，这个专名相应于这个思想的完整的部分，这个谓词部分相应于思想的不饱和部分……一个新思想（所有事物是与自身相等的），它与（二是与自身相等的，月亮是与自身相等的）这些单称命题相比是普遍的。‘所有事物’一词在这里处于专名的位置，但它本身不是专名，不表示对象，而只用来赋予这个句子内容的普遍性。”［12］在《函数和概念》里，弗雷格进一步解释了什么是普遍性：“无论人们用什么做自变元，这个函数的值总是为真。”［13］

总之，弗雷格认为，包含量词的函数是逻辑系统中表达普遍性的设置，每个量化表达式都有确定的真值，一个句子的真值就是将量词限定域中的对象带入函数的结果。对于一个全称表达式而言，如果带入的结果总是真的，全称表达式就是真的，而如果代入的结果有假的，则全称量化陈述就是假的。根据量词之间的互定义性，对于一个特称表达式而言，如果至少有一个自变元的带入结果为真，则特称量化式取真值，如果带入的结果都为假，则特称量化式取假值。这就是弗雷格关于量化的基本观点。

尽管弗雷格对量词—变元的解释奠定了量化理论的基础，但是弗雷格并没有进一步考虑一些具体的问题，如自变元的位置可以代入什么，是只可以代入专名，还是也可以代入谓词？对这个问题的不同回答会直接导致对逻辑的范围的不同看法：如果自变元只可以代入专名或单称词，即自变元的值只能是对象，那么逻辑将主要指称一阶逻辑；而如果允许谓词作自变元，则高阶逻辑也将被纳入逻辑的范围。逻辑的范围的不同将导致对逻辑的不同观念，并将进一步导致对真、意义、同一等语言哲学的核心概念的不同看法。另外，如何把握一个量词域的全体？如果我们的语言并不能为每一个对象命名，或者量词域是不可测的，在这样的情况下，我们如何判断一个全称量化式的真值？而对于这些与量词有关的问题，弗雷格都没有予以解答。

而正是对这些问题的不同回答，引发了后来的逻辑学家在量化解释上的争执和分歧，并最终形成了对象量化和替换量化两种对立的观点。对象量化坚持代入的只能是专名，而替换量化认为，每一次代入的都是某一类语词，既可以是专名，也可以是谓词，甚至可以是可能个体。从这样的量化理论出发，对象量化和替换量化形成了不同的关于真的看法，并由此导致了对待模态逻辑和高阶逻辑的不同态度：前者是反对，后者是支持。正是在这个意义上，安格尔断言：“对量词—变元的解释问题已经成为现代逻辑的核心问题。”［14］

注释

①⑧⑨Dummett M.Frege：Philosophy of Language.2ed.Cambridge：Harvard University Press，1981.xxxi- xxxiv，9，xxxiii.②Stevenson L.Frege’s Two Definitions of Quantification.The Philosophical Quarterly，Vol.23，No.23，July.1973.③④⑤［11］［12］［13］弗雷格：《弗雷格哲学论著选辑》，王路译，商务印书馆，2006年，第2、53、26、26、236—237、71页。⑥Quine.Logic and the Reification of Univesals.In From a Logical Point of View.Cambridge：Harvard University Press，1962.103.⑦威廉·涅尔、玛莎·涅尔：《逻辑学的发展》，张家龙、洪汉鼎译，商务印书馆，1985年，第638—639页。⑩叶峰：《二十世纪数学哲学——一个自然主义者的评述》，北京大学出版社，2010年，第179页。［14］Engel P.The Norm of Truth：An Introduction to the Philosophy of Logic.Toronto Buffalo：University of Toronto Press，1991.68.