QMUP－内射环

李男杰，汪兰英，魏俊潮＊

（1．扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州225002；2．南京邮电大学 吴江职业技术学院，江苏 吴江215200）

0 引言

在本文中，R 表示有单位元的结合环，Zl（R），J（R）分别表示R 的左奇异理想和Jacobson根．设X 是R 的一个非空子集，用l（X），r（X）分别表示X 在R 中的左零化子和右零化子．特别地，当X＝｛a｝时，记l（X）＝l（a），r（X）＝r（a）．

设M 为左R－模，若对每个a∈R 及R 的每个补左理想C，每个左R－单射f：Ca→M 都可扩充到R，即总存在左R－同态g：R→M，使得g｜Ca＝f，则称M 为MUP－内射模［1］．ROGER［1］428指出，左MUP－内射模是左p－内射模［2］的真正推广．若对每个0≠a∈R，存在n≥1，使得an≠0且对R 的每个补左理想C，每个左R－单射f：Can→M 都可扩充到R，则称左R－模M 为QMUP－内射模．显然，左QMUP－内射模是左YJ－内射模［3］和左MUP－内射模的推广．若左R－模R 是QMUP－内射的，则称R 为左QMUP－内射环．

若R 的每个极小左理想均由一个幂等元生成，则称R 为左泛极小内射环［4］．显然半素环是左泛极小内射环．若R 的每个极小左理想都是投射左R－模，则称R 为左PS环［5］．显然左泛极小内射环是左PS环．若对R 的极小左理想I，当I≅Rg，g2＝g∈R 时，必有I＝Rh，h2＝h∈R，则称R 为左MC2环［6］．笔者［7］曾指出：R 为左泛极小内射环当且仅当R 称为左PS环和左MC2环．在本文中，笔者拟利用左QMUP－内射模给出这些环的一些刻画．

1 主要结果

定理1设R 为一个环，则下列条件等价：

1）R 为一个左泛极小内射环；

2）每个单左R－模是MUP－内射模；

3）每个单左R－模是QMUP－内射模．

证明 2）⇒3）：显然．

1）⇒2）：设M 为单左R－模．任取a∈R 及R 的每个补左理想C，并设f：Ca→M 是任意左R－单射．由于M 是单模，从而f 是同构，所以Ca是R 的极小左理想．由于R 为左泛极小内射环，所以Ca＝Rh，h2＝h∈R．设f（h）＝m∈M．作σ：R→M 满足σ（r）＝rm，r∈R，则σ 是左R－同态且σ（ca）＝cam＝caf（h）＝f（cah）＝f（ca），c∈C，因此M 是MUP－内射模．

3）⇒1）：设I＝Rk是R 的任意极小左理想，则由3）知，RI 是QMUP－内射模，故存在n≥1，使得kn≠0，任意左R－单射：Rkn→I可扩张到R．由于Rk＝Rkn＝I，从而恒等映射1：Rkn→I也可扩张到R，即有g：R→I，使得g（k）＝1（k）＝k．设g（1）＝dk，d∈R，则k＝kdk．记e＝dk，则e2＝e且Rk＝Re，所以R 为左泛极小内射环．

注：由于半素环上的单模未必为YJ－内射模，且半素环为左泛极小内射环，故由定理1 知QMUP－内射模是YJ－内射模的真正推广．

笔者［8］曾指出：一个环R 为左MC2环当且仅当对每个a∈R，每个左极小幂等元g（即g2＝g 且Rg 是R 的极小左理想），aRg＝0蕴涵gRa＝0．显然R 为左MC2环当且仅当R 的每个投射的极小左理想是R 的直和项．由于R 的每个极小左理想要么是投射的，要么是奇异的，因此由定理1知有下列推论．

推论2设R 为一个环，则下列条件等价：

1）R 为一个左泛极小内射环；

2）R 是左MC2环，每个奇异单左R－模是MUP－内射模；

3）R 是左MC2环，每个奇异单左R－模是QMUP－内射模．

笔者［8］655曾指出：一个环R 为左MC2环当且仅当每个投射单左R－模是极小内射模．类似地，可得到下面的定理．

定理3设R 为一个环，则下列条件等价：

1）R 为左MC2环；

2）每个投射单左R－模是MUP－内射模；

3）每个投射单左R－模是QMUP－内射模．

若R 的每个极小左理想是投射左R－模，则称R 为左PS环［5］443．由定理1的证明知有下面的推论．

定理4设R 为一个环，则下列条件等价：

1）R 为左PS环；

2）每个奇异单左R－模是MUP－内射模；

3）每个奇异单左R－模是QMUP－内射模．

定理5设R 为一个左QMUP－内射环，I为R 的非奇异的有限生成左理想，则I是R 的直和项．

证明 1）首先假设I＝Rb，0≠b∈R．由于R 为左QMUP－内射环，故存在n≥1，使得bn≠0且对每个补左理想C，从Cbn到R 的任意左R－单射可扩张到R．现设C 是l（bn）的补左理想，则C≠0．作f，则

f 是左R－单射，故有x∈R，使得对每个c∈C，有c＝cbnx，因此C⊕l（bn）⊆l（bn－bnxbn），这说明bn－bnxbn∈I∩Zl（R）＝0，所以bn＝bnxbn，从而bn为von Neumann正则元．记b1＝bn－1－bn－1xbn，则b21＝0．如果b1≠0，则因b1∈I，故由上述证明知存在x1∈R，使得b1＝b1x1b1，所以bn－1＝bn－1（xb＋（1－xbn）x1（1－bn－1xb））bn－1．如果b1＝0，则bn－1＝bn－1（xb）bn－1，可见在任何情况下，bn－1为von Neumann正则元．如此下去，可证得b为von Neumann正则元，从而I是R 的直和项．

2）现设I＝Ra＋Rb，a，b∈R．由1）知，Rb＝Re，e2＝e∈R，从而I＝Re⊕Ra（1－e）＝Re⊕Rw，其中Rw＝Ra（1－e），w2w∈R．设g＝（1－e）w，则wg＝w，g2＝g 且Rg＝Rw，从而I＝Re⊕Rg＝R（e＋g），其中e＋g＝（e＋g）2，所以I是R 的直和项．

3）利用1）和2），对I的生成元的个数由数学归纳法知I 是R 的直和项．

设I是R 的理想，记1＝｛x∈R｜存在n≥1，使xn∈I｝，则有下面的定理．

定理6设R 为一个左QMUP－内射环，则1）是π－正则环．

证明 1）设a∈Zl（R）．任取b∈R，则ab∈Zl（R），所以l（1－ab）＝0．由于R 为左QMUP－内射环，所以存在n≥1，使得左R－单射可扩张到R，即有y∈R，使得1＝f（（1－ab）n）＝（1－ab）ny，因此a∈J（R），从而Zl（R）⊆J（R）．

2）设0≠c∈J（R）．由于R 为左QMUP－内射环，所以存在n≥1，使得cn≠0及对任意补左理想D，任意左R－单射：Dcn→R 可扩张到R．如果cn∉Zl（R），则由定理1的证明知，存在y∈R，使得cn－cnycn∈Zl（R）．由于c∈J（R），所以1－ycn是可逆元，从而cn∈Zl（R），矛盾；因此，cn∈从而

3）设c∈R＼Zl（R），则存在n≥1，使得cn≠0及对任意补左理想D，任意左R－单射：Dcn→R 可扩张到R．如果cn∈Zl（R），则在¯R＝R／Zl（R）中，¯cn＝0－＝¯cn¯cn¯cn．如果则由定理1的证明知，存在y∈R，使得cn－cnycn∈Zl（R），从而¯R＝R／Zl（R）中，¯cn＝¯cn¯y¯cn，因此¯R＝R／Zl（R）是π－正则环．

设a∈R，若l（a）＝0，则称a为R 的左正则元．为方便计，用W（R）表示R 的所有左正则元的集合．设a∈R，若存在b∈R，使得ab＝1，则称a是R 的右可逆元．若对每个a∈W（R），都有Ra｜R，则称R 是左WGC2环［9］．若对每个a∈R，作为左R－模，当Ra≅R 时，总有Ra｜R，则称R 是左GC2环［10］．显然左GC2环是左WGC2环．文献［9］6定理1证明了：R 是左WGC2环当且仅当每个左正则元是右可逆元．

定理7设R 是左QMUP－内射环，则R 是左GC2环．

证明 设a∈R，使得Ra≅σR．设σ（a）＝c∈R，σ（ba）＝1，记d＝ba，则l（d）＝0，Rd＝Ra．由于R 为左QMUP－内射环，所以存在n≥1，使得dn≠0且左R－单射可扩张到R，即存在y∈R，使得1＝dny，所以d＝dnyd．记e＝dn－1yd，则e2＝e，Ra＝Rd＝Re，所以Ra｜R，即R 是左GC2环．

推论81）设R 是左QMUP－内射环，则R 是左WGC2环．

2）设R 是左MUP－内射环，则R 是左GC2环．

3）设R 是QMUP－内射环，则R 是左WGC2环．

设a∈R，若l（a）＝r（a）＝0，则称a是R 的非零因子．设M 是左（右）R－模，若对R 的每个非零因子a，总有M＝aM（M＝Ma），则称M 是可除左（右）R－模．由文献［9］7推论3，4，5，定理7和推论8可知有下列推论．

推论9设R 是左QMUP－内射环，则每个左或右R－模是可除模．

设R 为一个环，r∈R．若Rr（rR）为R 的极小左（右）理想，则称r 为R 的左（右）极小元．用minl（R）表示环R 的全体左极小元的集合．若对每个x∈minl（R），有rl（x）＝xR，则称R 为左极小内射环［4］548．由文献［4］551知，左极小内射环是左MC2环．

定理10左QMUP－内射环是左极小内射环．

证明 设x∈minl（R）．由于R 为左QMUP－内射环，所以存在n≥1，使得xn≠0及对任意补左理想D，任意左R－单射：Dcn→R 可扩张到R．显然Rx＝Rxn，l（x）＝l（xn）．对于任意y∈rl（x），总有l（x）＝l（y），作则f 是左R－单射．由假设存在z∈R，使得y＝f（x）＝xz∈xR，因此从而R 为左极小内射环．

推论11左MUP－内射环是左极小内射环．

文献［11］定理4．1指出：如果R 为左MC2环，包含一个内射的极大左理想，则R 为左自内射环．由于左自内射环是左MUP－内射环，故由定理10可得下面的推论．

推论12设R 为一个环，包含一个内射的极大左理想，则下列条件等价：

1）R 是左自内射环；

2）R 是左MUP－内射环；

3）R 是左QMUP－内射环；

4）R 是左极小内射环；

5）R 是左MC2环．

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