基于有限元分析的交通流理论与技术研究＊

李福祥 李文勇 李长军 甄玥然

（桂林电子科技大学机电工程学院1） 桂林 541004） （潍坊市城西派出所2） 潍坊 261100）

交通流理论是研究交通流随时间和空间变化规律的模型和方法体系［1－2］．交通流分析的核心内容是交通流模型的建立．交通流是一个离散系统，宏观模型忽略了单个车辆的作用，对微观车辆的相互作用不能够描述，因此得到的信息不完全；微观模型虽然考虑了单个车辆的作用，但是模型的控制变量繁多，参数设置庞杂．而利用有限单元法建立交通流的模型可以弥补这些缺陷，因此采用本质上离散的有限元模型来描述实际的交通现象具有其独特的优越性．1955年，英国学者Lighthill和Whitham将交通流比拟为流体流，提出了流体力学模拟理论，即著名的L－W理论．该理论运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，把车流密度的疏密变化比拟成水波的起伏而抽象为车流波［3］，这样有限单元法就可以引入到交通流的分析中来．

1 交通流与流体的对比

1．1 交通流的可压缩性

车辆在行驶过程中，如果是在低密度的条件下，车辆间的间距比较大．一旦密度增大，车辆间的间距也会逐渐缩小，表现出像流体一样的可压缩性．当车流密度达到一定程度的阻塞密度时，交通流将不能被压缩．

如在单车道交通流的行驶过程中，车流遇到交通事故或红灯停车等交通状况时，前方车辆会减速行驶或停车，进而后车也会做出相应的反应．

1．2 交通流的粘性

在单车道交通流中，交通流的粘性主要表现在交通流中车辆与车辆间的干扰及路况对交通流的影响．在流体力学中，粘性是流体抵抗剪切变形（或相对运动）的一种属性．当流体存在相对运动或剪切变形时，流体内部就产生切应力以抵抗相对运动或剪切变形［4］．将此种特性类比到交通流中去，将会发现，在单车道交通流中，车辆的速度与车辆间的距离有明显的关系．距离大时，车辆的速度会加快，距离小时，车辆的速度会减慢．速度与车辆间的距离成反比．

1．3 交通流参数与流体参数的比拟

为了便于后面的分析，将交通流中一辆车与后车的距离及左右交通设施的距离定义为一个车单元，该车单元为四边形．交通流中的车辆比拟为流体的流体微团，交通流的速度（u）比拟为流体的速度（v）．流体的密度（ρ）是指流体单位体积时的质量（M），交通流的密度（k）是指某瞬时单位长度道路上的车辆数（σ）．由密度对比可知：交通流的车辆数比拟为流体的质量．流体的参数与交通流参数的对比如图1所示．

图1 流体参数与交通流参数的对比

1．4 交通流势函数

交通流无旋流动，所以涡度为0，即

按照矢量分析可知，任一函数的梯度再取旋度必恒等于0［5－6］，即

由式（2）可知，存在一个函数 （x，y，z，t）使下列关系成立

式（3）表明速度可由一个函数φ的梯度来表示，定义φ为交通流速度的势函数．这样描述交通流的二维速度可由下式表示

1．5 交通压力的数学表示

交通流连续方程为

根据流体力学中的定义，流场中所有流动参数不随时间变化的流动定义为定常流．即

式中：γ为流动参数．

类比此定义，将交通流不随时间变化的车流的运动定义为定常交通流．所以

流体在流动的时候会产生流体压力，交通流在车道中行驶的时候也会产生类似于流体压力的交通压力F．在单车道交通流中，取长度为Δx的一段车道．车辆数为kΔx．取此段车道为研究对象，如图2所示．

图2 单车道交通压力示意图

此段交通流上游受到的交通压力为F，下游受到的交通压力为－ （F＋Δ x），由牛顿第二定律

在定常交通流的情况下，k1u1＝ku＝C（常数），得

解得

式（11）即为交通压力的表述式．由式（8）交通压力的物理意义可以表述为使kΔx车辆产生加速度a所需要的交通压力为F－ （F＋Δx）．此处交通压力的物理意义可以理解为车辆自身发动机的驱动力和路面摩擦力及空气阻力等．

2 单车道交通流的有限元数学模型

一队高密度单车道车流向前行驶的过程，用有限元法分析步骤如下．

1）选择单元类型 从单车道交通流中离散车单元为一个单元，该单元为矩形单元，设矩形单元为ijmp，i，j，m，p为4个节点，总体坐标系为xoy，局部坐标系为εoδ，每个节点有2个节点势分量，如图3所示．矩形的长与宽分别为2a，2b．单车道交通流离散形式如图4所示．

图3 矩形单元

图4 单车道交通流离散形式

2）选择势函数 单元有8个自由度，所以位移函数为

局部坐标系εoδ为量纲一的量坐标系，4个节点的量纲一的量坐标（εi，δi），（εj，δj），（εm，δm），（εp，δp）分别为：（－1，－1），（1，－1），（1，1），（－1，1）．将坐标值代入上式得

求解上述方程组，按节点势合并，在局部坐标系下得到单元内任意点势（s，t）用节点势（s1，t1），（s2，t2），（s3，t3），（s4，t4）表示如下

整体坐标系下表示如下

φ为交通流势函数，q′e，qe分别为在局部坐标系与整体坐标系下的单元节点势列阵．

局部坐标系下的形函数为

所以整体坐标系下的形函数为

3）定义梯度／势和速度／梯度关系 梯度矩阵为

类似结构分析中的应变矩阵为

速度／梯度矩阵关系为

式中：D为材料性质矩阵，车流在车道行驶的过程中，可以比拟为流体在管道中或在固体中的理想流动，所以取Kxx＝Kyy＝1即

4）单元刚度矩阵与方程 单元刚度矩阵为

假设矩形单元为等厚度t，矩形面积为A．所以

5）合成单元刚度方程组成总体刚度方程并引入边界条件 叠加后的总体刚度方程为

式中：F为节点交通压力列阵；K为总体刚度矩阵；q为交通流节点势列阵．

边界条件是

式中：φB为已知某状态的交通流的势．边界条件可以理解为在车道边界车速为0．

6）求解线性方程组及其他物理量 由式（27）及边界条件解出交通流节点势后，便可由式（14）求出交通流势函数，由式（20）求出交通流梯度矩阵，由式（21）求出交通流的速度．

所以交通流参数间的有限元模型为

3 工程实例

3．1 模型建立

一列东西向行驶的车流，在行驶的过程中，车道由双车道变为单车道．利用 ANSYS－FLOTRAN流体分析模块进行仿真与分析［7］．并对交通流参数进行讨论．道路状况图如图5所示．

图5 道路状况图

设单车道宽度为3．5 m，阻塞密度kj＝0．15辆／m．进口的车流速度均匀，速度为10 m／s，垂直于左进口的速度方向为0．双车道与单车道长度都为20 m．交通流动力粘度的取值仿照交通流．速度边界条件为车道边上的速度为0，压力边界条件为右出口相对压力为0．单元类型选择四节点四边形单元2D FLOTRAN 141．网格划分采用映射网格划分．划分结果如图6所示．

图6 网格划分结果

3．2 CFD模拟结果分析

交通流速度流场矢量图如图7所示，从图中可以清晰的看出车道内的流场分布情况．下方的色条指示不同颜色的速度的不同值．线条走向平稳而有序，显示此时流体是无旋流动并且处于层流状态，符合交通流的实际情况．

图7 速度矢量图

交通流速度云图如图8所示，从速度云图可以清楚的看出：车流以10 m／s的速度从左进口进入，在双车道的一段距离内，车流处于加速状态．通过选点查看最大速度可以达到13．5 m／s．此后车流进入瓶颈路段，开始减速，通过选点查看最小速度为5 m／s．经过瓶颈路段后，车流进入单车道，通过速度云图可以明显的看出车流经过瓶颈路段后处于加速状态，速度达到18．55 m／s后车流匀速行驶．此种状态下车流在单车道的速度大于双车道的速度．选点查看车流在该种状态下的密度小于车流的阻塞密度kj．即在车流没有达到阻塞密度之前，双车道的车流减速通过瓶颈路段后开始加速，车流速度大于双车道车流速度，然后做近似匀速运动，处于车辆跟驰状态．通过实地观测，这也与实际情况相吻合的．

图8 速度云图

交通流密度云图如图9所示，从图中可以看出密度逐级递减，瓶颈路段时密度最大，车速最低．通过选点取值可知密度值最大可以达到0．116 6辆／m（小于0．15辆／m）．

图9 密度云图

4 结束语

将流体有限元的思想引入到交通流中，建立的交通流有限元模型有其独特的优越性．道路的边界条件，交通流的输入与实际情况相一致，ANSYS－FLOTRAN仿真结果符合交通流合流前后的特性，得到了较好的分析结果，仿真精度高，为交通流的仿真提出一种崭新的思路．为了研究方便，只考虑的道路交通流的情形，在接下来的研究中，将进一步考虑交叉口交通流的情形．

［1］王殿海．交通流理论［M］．北京：人民交通出版社，2002．

［2］徐良杰，李兆康，王 炜．利用混沌搜索全局最优的交通流控制优化模型［J］．武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2008，32（3）：413－416．

［3］任福田，刘小明，等．交通工程学［M］．北京：人民交通出版社，2003．

［4］景思睿，张鸣远．流体力学［M］．西安：西安交通大学出版社，2001．

［5］余志豪，苗曼倩，等．流体力学［M］．北京：气象出版社，2004．

［6］熊烈强，陈明昭，严新平．交通流参数的微分方程［J］．武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2003，27（1）：18－20．

［7］邓凡平．ANSYS10．0有限元分析自学手册［M］．北京：人民邮电出版社，2007．