一类偏微分方程组解的局部稳定性

于 海

（江海职业技术学院，江苏 扬州 223001）

对于偏微分方程，

我们可利用线性化和特征值方法证明其局部稳定性，设

对求偏导得：

则Jacobian矩阵为：

1.平凡解的局部稳定性

令｜λE-J｜=0，得特征根 λ1=re-λτ-D1ui，λ2=-d-D2ui.

令f（λ）=λ-re-λτ+D1ui，取ui=0，则f（λ1）=λ1-re-λ1τ，

所以由介值定理，（2）至少存在一个特征根，所以平衡点 E0=（0,0）不稳定.

定理1系统（1）的平凡解E0=（0,0）不稳定.

2.半平凡解 E1=（K，0）的局部稳定性

令f（λ）=λ+2r-re-λτ+D1ui，f'（λ）=1+rτe-λτ＞0，

故∀λ＞0，f（λ）＞f（0）＞0，

所以，f（λ）=λ+2r-re-λτ+D1ui=0无正根，即λ1非正；

3.正平衡点E2=（u1*，u2*）的局部稳定性

当 E2=（u1*，u2*）时，为了更简便地得到矩阵，先引入一些记号：

其中：

当然，特征方程（4）需在 τ∈I=[0，τ*）内讨论负根的存在性.

下面我们证明对于任意的τ，λ=0不可能是特征方程（4）的解：

因为

将（6）代入（5）得：

特征方程（4）在τ=0时对于任意的λ有P（λ，0）+Q（λ，0）=0，即：

因为∀τ∈I，P0(τ)+Q0(τ)＞0，所以P0(τ)+Q0(τ)＞0，

因此，我们有

随着τ在I=［0,τ*］内的增加，特征方程（4）有可能会出现一对虚根，不妨设λ=iω(τ)，ω(τ)为实部，

由（4）有：|P(λ,τ)|=|-Q(λ,τ)e-λτ|.

令λ=iω(τ)，得

下面我们证明：

首先，证明当τ=0时的稳定性，即考虑此时（4）在τ=0时（7）根的情况.

由（9）得：

考虑方程φ(θ)=θ2+b(τ)θ+c(τ)=0（其中θ=ω2）.