中职数学排列组合的解题方法

边学艳

摘要：为提高中职学生解决排列组合问题的能力，试就排列组合的典型题型进行归类分析。选题综合了排列组合的一些常用解题方法，并巧妙的应用于解题当中。

关键词：排列；组合；解题方法

Abstract: in order to improve the secondary students solve the permutation and combination problem ability, to try to arrange a combination of typical questions classified analysis. The topic selection comprehensive to arrange a combination of some of the most common problem solving method, and the application of problem solving in clever.

Keywords: arrangement; Combination; Problem solving method

中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：

中职教学中，排列组合问题一直是重点，也是难点，更是春季高考和三二分段学生中职升高职转段考试的必考内容，尤其从2012年开始，春季高考和3+2转段考试题型以及考试内容发生了很大的变化。自2009级的学生（2012年参加高考或转段考试）开始使用中等职业教育课程改革国家规划新教材，而新教材中增加了概率与统计的内容，占到考试比例的18%，这让作为概率基础的排列组合显得尤为重要。

对于中职学生来说，排列组合题型多，如何分析解答排列组合问题成了一个难点，针对这种情况，本文就解决排列组合问题的一些技巧进行总结归纳。

基本知识的掌握

掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”，这两个原理是排列组合的基础性原理。

“分类计数原理”是指完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，……，在第类方式中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。

“分步计数原理” 是指完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法。那么完成這件事共有种不同的方法。

必须深刻理解排列组合的概念，牢记排列数和组合数的公式。

排列与排列数：在个不同的元素中选出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中选出个元素的一个排列；在个不同的元素中选出个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中选出个元素的排列数，记作。排列数的公式为：

组合与组合数：在个不同的元素中选出个元素，组成一组，叫做从个不同元素中选出个元素的一个组合；在个不同的元素中选出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中选出个元素的组合数，记作。组合数的公式为：

弄清楚排列和组合的区别：排列有顺序性，组合无顺序性。

排列组合问题的解决技巧

针对新教材的指导方针和解题难度，本文总结了几种解决排列组合问题的方法。

1、特殊元素与特殊位置优先法：哪个元素或者哪个位置有特殊要求则对该元素或者该位置优先安排。

例1：用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？

分析：0不能作为首位，所以首位为特殊位置，所以要首先安排。

解：第一步：因为0不能作为首位，所以首位只能从1,2,3,4,5五个元素中选取，为种方法；第二步，十位和个位上的数字可以从剩下的五个数字中选择两个排列，为种方法。

共可组成个3位数。

2、固定位置忽视法：对于某个元素必须要在某个位置上的，直接忽视这个元素和这个位置。

例2：用1，2，3，4，5可以组成多少个大于50000的没有重复数字的五位数？

分析：要大于50000，首位必须要是5，所以在排的时候可以忽略5，同时首位的位置也可以忽略。将其他四个数在其余四个位置排列即可。如图：

5 千位 百位 十位 个位

解：共有种不同的方法。

3、相邻元素捆绑法：对于必须相邻的问题将两个必须相邻的元素捆绑在一起成为一个复合元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

例3：五个人站成一排，甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法？

分析：甲乙必须相邻，则把甲乙两个人看成一个复合元素与其他三人进行排列有种方法，同时甲乙内部可以互换位置，有种方法。

解：共有种排法。

4、元素顺序固定消序法或留空法：如果两个元素的需要的顺序是一定的，那可以先把所有元素排列，再消去（除以）这几个元素的顺序；或者先把其他元素选择位置排列好，留下两个位置给这两个元素。

例4：6个人排成一排，甲总站在乙的左侧有多少种站法？

分析：将六个人依次排好，有种站法，然后消去甲乙的顺序；或者先让甲乙之外的四人从六个位置中选出四个站好，剩下的两个位置甲乙只有一种站法。

解：共有或者种站法。

5、不相邻问题插空法：解决这类问题要先把没有位置要求的元素进行排列，再把有位置要求的元素插入进去。

例5：3门不同的文化课和2门不同的专业课排在同一天的课表里，一门只排一节，且专业课不能相邻，有多少种排法？

分析：第一步先将没有顺序要求的文化课排好，有种排法，然后在出现的五个空位中选出两个把专业课排进去。如图所示：

空位 专业课 空位 专业课 空位 专业课 空位

解：共有种排法。

6、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以归为一排考虑，再分段研究。

例6：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，现有8名学生入座，每人一个座位，甲要坐在第一排，求不同的坐法总数。

分析：8个人分成两排，可以看做8个人坐成一排，分两部分排列即可。甲先选择，从第一排中的三个座位中选择一个坐，方法为，剩下7人随便坐即可。如图所示：

解：共有种坐法。

7、不平均分配分组法：对于不平均分配的问题，先将元素分好组，然后排列即可。

例7：有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程，共有多少种分配方式？

分析：将四个工程分配给三个工程队，而且要求每个工程队至少得到一项工程，相当于有一个工程队将得到两个工程。所以先将四个工程分成三组，其中一组有两个工程，然后分配给三个工程队即可。

解：共有种分配方式。

8、无关因素剔除法：排列组合应用题往往和一些其他的知识联系起来，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍，从总体中剔除不符合条件的方法数，从而达到解决问题的目的。或者解决组合的抽样问题时也会经常遇到“至多”和“至少”的问题，可以将总体计算出来，将不符合题意的剔除掉。

例8：已知直线，现从集合中选出3个数分别作为，则所组成的直线中不经过坐标原点的有几条？

分析：共可组成条直线，其中当时的直线经过坐标原点，将这一部分剔除掉。

解：不经过坐标原点的直线有条。

例9：袋中共有10个不同颜色的球，其中白色球6个，红色球4个。从中任取3个球，取出的球至少有一个红球的取法共有多少种？

分析：至少一个红球分为三种情况：1个红球，2个红球，3个红球，那么可以用总的方法数减掉没有红球的情况即可。

解：共有种不同的取法。

9、合理分類分步法：合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

例10：某班有30名学生，其中班长、副班长各1名，现选派4名学生参加某项课外活动，班长和副班长至少有1个人参加，共有多少种不同的选法？

分析：班长和副班长至少1个人参加包含两类情况：第一类，班长和副班长中只有1个人参加，那么28名普通学生中有3人参加，共有种方法；第二类，班长和副班长都参加，那么28名普通学生中有2人参加，共有种方法。

解：共有种不同的选法。

10、平均分组问题除法：平均分成的组，不管他们顺序如何，都是一种情况，所以分组后要出了（为所分的组数）

例11：12个人分成两队进行排球比赛，每队6个人，共有多少种不同的分法？

分析：分成两队，应该先从12人中选出6人，共有种方法，但这里出现重复记数的现象，如果将12人编号分别为1，2，3，…，12，若第一组选1，2，3，4，5，6，那么剩下的7，8，9，10，11，12为第二组，和第一组选择7，8，9，10，11，12，剩下的1，2，3，4，5，6为另一组是重复的，所以需要将重复的除掉。

解：共有种不同的分法。

11、分阶段分析法：对于有些问题需要分阶段进行，最后将总数加在一起即可。

例12：有11个队参加的篮球比赛分成两个阶段进行。第一阶段，分成2个小组，第1小组5个队，第二小组6个队，各组都进行单循环比赛，第二阶段，各组的前两名进行单循环比赛确定冠、亚军。问共需要准备多少次比赛？

分析：需要注意的是，问的是比赛场次，而且如何分组无关。分为两个阶段，第一阶段需要进行两个组的比赛，其中第1小组需要进行场比赛，第2小组需要进行场比赛，而第二阶段是第一阶段选出的4个组之间进行比赛，共有场比赛。

解：共需要准备场比赛。

12、排列组合综合题先选后排法：解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想。

例13：从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行，有多少种不同的站法？

分析：可以先将男生选出，再将女生选出，然后对选出的5名学生排序。

解：共有种不同的排法。

13、重排问题求幂法：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种。

例14：某城市的电话号码是由0到9的7个数字组成（允许重复），问该城市最多可以装多少部电话？

解:完成此事共分七步：把第一位确定下来有 10 种方法，把第二位确定下来也有 10 种方法，依此类推,由分步计数原理共有个不同的电话号码。

10个 10个 10个 10个 10个 10个 10个

解：共可安装部电话。

参考文献：

尚峰.计数原理，《数学通讯》2011年Z1期

孙宜新.计数原理、排列组合、二项式定理，数学爱好者(高二新课标人教版)2008年01期

孔德宏.排列、组合、二项式定理疑难攻略，考试（高考数学版），2011年Z2期

郭青初.解读排列、组合与二项式定理，《试题与研究》2009年02期

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法，百度文库

解排列组合问题的几种基本方法，百度文库

高考数学排列组合难题，百度文库

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。