活用通项比较法简证数列不等式

☉湖北省孝感高级中学 张新平

活用通项比较法简证数列不等式

☉湖北省孝感高级中学 张新平

在近年的各省市高考数学试卷中，有一类与数列有关的不等式证明的问题频繁出现，由于这类题型综合性较强，能力要求较高，知识涵盖面较广而倍受命题者们的青睐.这类问题的常用证法是数学归纳法，由于思维难度较大，证明过程较繁，放缩技巧较强等而不易被学生掌握.本文以课本题及高考题为例，拟就由数列的前n项之和或前n项之积构成的“求和型”或“求积型”数列不等式的证明，给出一种较为简捷、快速的方法——通项比较法.

一、“求和型”数列不等式的证法

这是人教版数学选修4—5中的习题，观察结构特点，适当构造新数列并求和，就有下面证法：

将k=1，2，3，…，n时的n个不等式相加，

评注：“通项比较法”证明“求和型”数列不等式的关键，是观察结构特点，适当构造数列.这种证法的实质，是“裂项法求和”：将新数列的通项公式分裂成为两项之差，在求和过程中，前项与后项之间，有许多同类项可以合并，从而求出新数列的和．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值班范围；

将k=1，2，…，n时的n个不等式相加，

二、“求积型”数列不等式的证法

评注：本题将几何与代数有机地融为一体，既考查曲线与方程，导数及其应用，曲线的切线，数学归纳法，三角函数及其单调性，数列不等式的证明等，又考查待定系数法、化归与转化、分类与整合的数学思想方法等，较好地考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用创新意识.该题构思新颖，设计精巧，是考基础、出活题，以能力立意，在知识网络的交汇处命题的典范！

由上可见，“通项比较法”的基本思想，是将不等式两边各看成一个数列的前n项之和或前n项之积，通过比较两个数列的通项表达式的大小，采用累加法或累乘法而使原数列不等式获证，规律性较强，学生容易掌握，并且灵活运用通项比较法，可使证明过程简捷、快速、高效.

1.杨仁宽.巧裂项求数列的和，妙放缩证明不等式——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略［J］.中学数学，2008，4.

2.周伟志.数列不等式证明方法比较［J］.中学数学，2008，4.

3.杨仁宽.构建高效课堂，提高教学效率——浅谈“目标引领，活学巧用”高效课堂中的难点突破［J］.中学数学，2011，12.