解决导数问题的重要策略——转化思想的应用

☉江苏省江安高级中学 贾学如

解决导数问题的重要策略
——转化思想的应用

☉江苏省江安高级中学 贾学如

函数是高中数学的主干内容，高中数学的函数问题内容多而繁，性质复杂且比较抽象，因而很多同学对函数知识的考查极为畏惧，转化是解决导数问题的重要策略，特别是对于难度比较大的导数问题，更加彰显了转化思想的强大功能，下面谈谈转化思想如何在导数解题中实现难点的突破．

一、数与形的转化

有些问题中给出的是“形”的条件，而有些问题中给出的是“数”的条件，联想到形与数的密切联系，可以把问题的形与数结合起来考虑，实施转化，从而降低原命题的难度，使得问题得以解决．

例1（2012年浙江五校联考高考模拟）函数f（x）=xex－a有两个零点，则实数a的取值范围为________.

分析：通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，画出函数的图像，利用数形结合思想直观解决.

解：构造函数y=xex.则y′=ex（x+1）.因为ex＞0，所以由y′=0，解得x=－1.

当x＞－1时，y′＞0，函数为增函数；

当x＜－1时，y′＜0，函数为减函数.

所以当x=－1时函数有最小值－e－1=－画出函数y=xex的图像，如图1所示，显然当－＜a＜0时，函数f（x）=xex－a有两个零点.点评：对于本题，如果不能正确画出函数的图像，容易得出－＜a的错误答案．

图1

二、函数、方程、不等式的转化

函数、方程、不等式的关系密切，有意识地利用三者之间的关系对问题进行转化，从而简捷的解决问题，转化的价值是培养学生从不同的角度、不同的侧面去观察问题，产生新的联想，从而解决问题.

分析：函数g（x）在［1，2］上是减函数，转化为g′（x）≤0在［1，2］上恒成立，再通过分类讨论通过求解函数的最值解决.

点评：本题的解决方法是利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为不等式恒成立问题，然后用函数的思想方法求解．

分析：本题考查恒成立问题，通过对问题的挖掘，实际上是求函数的最值问题，借助导数工具以及不等式恒成立结论解决.0⇒k≥1.

点评：解决本题的关键是转化思想的应用，求参数k的范围问题转化为求函数的最值问题，再通过求最值转化成利用解不等式来解决.

三、等价转化

所谓等价转化，是指通过不断转化，将未知解的问题（即不熟悉、不规范、复杂的问题）转化为在已有知识范围内可解的问题（即熟悉、规范、简单的问题）的一种思想方法.这种方法注重多种思维的训练，强调转化的过程.等价转化时要求转化过程必须是充分必要的，才能保证转化后的结果仍为原问题的结果.它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.

例4 若函数f（x）=x3－kx2－k2x+k3在［－1，3］上单调递减，求k的取值范围.

分析：本题是非常规函数以及已知含参数的函数的单调性求参数等逆向问题，适合利用导数解决.

解法1：最值法.

解得k≤－9或k≥3，所以k的取值范围为（－∞，－9］∪［3，+∞）.

解法2：子区间法.

点评：求解本题时，可转化为两种途径解：一是最值法，即不等式f′（x）≤0对于一切x∈［a，b］恒成立，先求出f′（x）在［a，b］上的最大值f′（x）max；二是子集法，先解关于x的不等式f′（x）≤0，得到用参数k表示的函数f（x）的单调减区间U，再令［a，b］⊆U，从而可以得到关于k的不等式或不等式组，进而得到k的取值范围.

导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，它作为选修部分进入新课程，为研究函数提供了更有力的工具和更广阔的空间.在今后的学习中要养成使用导数研究函数的习惯.