同根同源的两道圆锥曲线高考试题的剖析

☉浙江省杭州师范大学附属中学 苏立标

同根同源的两道圆锥曲线高考试题的剖析

☉浙江省杭州师范大学附属中学 苏立标

每年高考解析几何试题总是五彩缤纷、精彩不断，不乏有许多点睛之作，或给人以启迪，或给人以思考.研究高考试题，这是我们教学研究的一个规定动作，引导学生剖析试题内涵，寻找试题间的联系，这是我们教学中不得不停留的地方，所以我们可以从联系的角度去审视高考试题，置知识于系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入数学的本质.

一、试题的剖析

（1）求椭圆E的方程.

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

由于对任意m、k恒成立，所以联立解得x1=1.故存在定点M（1，0），符合题意.

剖析：由题意易知动直线l是椭圆的一条切线，直线x=4为椭圆的右准线，定点M（1，0）恰好为椭圆的右焦点，这样我们就可以把上述高考试题一般化，得到：

如果我们再把上面的试题改为其逆命题，则又得到2012年安徽省高考数学试题：

故得直线PQ与椭圆C只有一个交点，即直线PQ是椭圆C的切线．

点评：“莫让浮云遮望眼，撩开雾纱见真颜”，两道不同省份的高考试题，却有相同的知识背景，都汇聚了椭圆中重要的几何元素：焦点、准线、切线，两个试题互为逆命题，全面考查了解析几何的基本思想方法．透过纷繁复杂的数学表面，看到自然而富有直观的数学内涵，得到精简朴实的数学本质．

二、试题的探究

“水石相激而生浪花点点，云天共拥始现苍穹渺渺”，对于一道高考试题，我们有必要引导学生对此问题进行全方位的引申、探究，剖析其本质内容，培养学生探究的能力．问题也只有在不断变式中探究，才能凸现出问题的本质，要善于运用辩证的观点去思考分析，在运动中寻求定点、定值、定直线的“不变”性．引导学生将试题求变可以较好地刺激学生对所学材料的兴趣，活跃学生的学习气氛．改变题目的条件，会推出什么结论？保留题目的条件，结论能否进一步加强？条件作类似变换，结论能否扩大到一般？像这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的重要突破口．

一道成功的高考试题往往意境深远，具有较强的再生能力与发展的空间，我们可以把它作为知识与能力的生长点，引导学生探究其中有趣的性质，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维．如果我们把试题中的焦点与准线的条件再弱化，变成“类焦点”与“类准线”，引导学生进行探究，又可以得到：

三、试题的反思

“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”.通过剖析试题，探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，让学生的思维在解题后继续飞翔，这是例题教学过程中更高一级的思维活动.为了让学生思维继续飞翔，我们就需要让学生从整体上把握知识的内在规律，让学生将自己置于发现问题或深化探究问题的活动中去.我们不仅让学生拥有知识，而且让学生拥有学习知识的智慧.有一个形象的比喻：拥有知识的人只能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子.同样地，拥有智慧的人却能在一块石头里看到风景，在一粒沙子里发现光辉.有效的变式教学有利于拓宽学生的学习视野，有利于优化学生的思维品质，而且能激发学生内在的探究热情，对一道高考试题进行探究、反思与拓展，让它链接更多的精彩，将学生引向理性反思的舞台——比较联系，从中发现规律，不仅有效地提升学生的思维能力，而且也使我们数学的课堂充满活力.