导数中分类讨论思想运用的方向

☉江苏省海安高级中学 王 红

导数中分类讨论思想运用的方向

☉江苏省海安高级中学 王 红

导数的引入为函数性质问题的求解开辟了新的途径，但这类问题中常含有参数，这是大多数同学头疼的问题，不知从何处开始分类讨论，又不知道如何展开讨论，常常讨论的不够或者混乱.其实在研究含字母参数的函数的这些性质时，只要掌握每一步的要求，熟练利用导数，多次用到分类讨论，掌握分类讨论的方法就可以很好地解决这一问题.利用求导研究函数的性质都是从研究单调性开始，第一步求出导数，后面其实就是转移到解不等式的问题.下面举例说一下分类讨论可能出现的地方.

一、讨论的方向

利用导数判断函数的单调性，求导后导函数多为含参的二次函数型，首先就需要对二次项系数进行讨论：

当二次项系数a=0时，则导函数转化为一次函数型，结合一次函数的图像及原函数的定义域，可直接判断原函数在定义域内的单调性.

当二次项系数a≠0时，先看是否能因式分解，如果不能，则需要讨论判别式的正负.当二次项系数a＞0时，若判别式△＜0，则原函数单调递增；若△＞0，则利用求根公式表示出两根.当二次项系数a＜0时，若判别式△＜0，则原函数单调递减；若△＞0，则利用求根公式表示出两根.

如果导函数可以进行因式分解或利用求根公式表示出两根，需要对两根的大小进行判断.

二、典例分析

当a＞0时，令f（′x）=0，得x1=－a，x2=，（fx）与f（′x）的情况如表1所示：

表1

当a＜0时，f（x）与f′（x）的情况如表2所示：

表2

（1）当a=－2a，即a=0时，f′（x）=x2≥0恒成立，则f（x）在（－∞，+∞）上单调递增.

（2）当a＞－2a，即a＞0时，令f′（x）＞0⇒x＞a或x＜－2a；令f′（x）＜0⇒－2a＜x＜a.

则f（x）在（－∞，－2a）和（a，+∞）上单调递增，在（－2a，a）上单调递减.

（3）当a＜－2a，即a＜0时，令f′（x）＞0⇒x＞－2a或x＜a；令f′（x）＜0⇒a＜x＜－2a.

则f（x）在（－∞，a）和（－2a，+∞）上单调递增，在（a，－2a）上单调递减.

综上所述：a=0时，f（x）在（－∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（－∞，－2a）和（a，+∞）上单调递增，在（－2a，a）上单调递减；a＜0时，f（x）在（－∞，a）和（－2a，+∞）上单调递增，在（a，－2a）上单调递减.

点评：上述两例的函数定义域都是实数集R，只是讨论根的存在和根的大小，若函数定义域不是实数集R，除了讨论根的大小，还要注意f′（x）=0的根是否在定义域内，从而产生分类讨论.

综上所述：略.

通过以上例题不难发现，只要利用导数解决函数问题的步骤掌握好，分类讨论可能出现的地方就能注意到，就可以很容易解决这类问题了.