“基础”“能力”两手硬“清淡”“麻辣”一卷香——2012年四川省高考数学“草根”评说

☉四川省巴中中学 肖 斌（特级教师）

“基础”“能力”两手硬“清淡”“麻辣”一卷香
——2012年四川省高考数学“草根”评说

☉四川省巴中中学 肖 斌（特级教师）

硝烟散尽，尘埃落定.2012年四川省高考数学以其色鲜味美、“清香”、“麻辣”的经典“川味”吸引各界关注的目光.

笔者在数学刚刚考完的第一时间，询问一个个走下考场的学生.“前面一些题不难”、“16题不知所措”、“去年考取北大、数学考了142分的复读高人今年也没有把最后两大题做完”、“今年数学太变态”……考生或一脸轻松，或一脸茫然，我不由惊愕.

我拼命在网上搜索，也不断向笔友打听.直到第三天下午我才在网上一睹高考数学四川卷的“真面目”.几番演算、几番思辨、几番寻根溯源、几番延伸拓展，考生的遗憾掩饰不住我的震撼……试题征服了我.

总的说来，2012年高考数学四川卷遵循《考试大纲》及《考试说明（四川版）》的要求，保持了近几年四川卷的“清淡为主、麻辣到位”的命题风格.一方面，立足于数学教材、回归数学本源、重视数学基础知识和基本技能的考查，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，覆盖了高中数学的核心考点.另一方面，突出能力立意和命题创新，加强对数学思想方法的考查和数学能力的检测.以它强烈的基础性、挑战性、开创性以及充盈理趣、情趣的巴蜀文化气息描绘了一个多姿多彩的数学世界.做到了：有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于旧大纲向新课标高考衔接过渡.可谓“基础”“能力”两手硬，“清淡”“麻辣”一卷香，是一套成功精彩的试卷.

下面笔者从一线“草根”的角度，秉笔直书，畅所欲言.谈谈所听所见所思所感，谈谈有关2012年高考数学四川卷的是非功过、成败得失.

一、根植课本重基础，平和稳定是主流

我们每天使用的数学课本是国家组织一流教育专家、学者精心编著的，其中许多例、习题不乏典范性、代表性和可发展性.课本是学生学习的主要工具，自然应该作为考试的主要依据.高考虽然是选拔性考试，但也必须起步于基础.近几年来的高考命题改革，把突出能力考查放在了改革的首位，但并没有放松对基础知识的考查.2012年四川高考数学卷，高举“基础”、“常规”、“课本”三面大旗，贴近教情、学情、省情，给人以平和、平静、平易近人的好感.这就是适应四川省大多数考生口味的高考数学“清香味”.

今年四川高考数学试题贴近高中课堂，立足于教材而不拘泥于教材，背景熟、入口宽、方法多，给人平和朴实、似曾相识的感觉.有超过一半的试题是以课本例、习题为“题根”的变式题.具体表现为三个层次：

（1）选编原题、信手仿制.即有不少题目直接取自教材，或是课本基本概念、公式、例题、习题的简单改编.有文、理科1～8题，13、14题共10个小题.

（2）串联方法、综合习题.即有的题目是教材中几个题目或几种方法的串联或并联、综合与拓展.有文、理科9、10、15、17、18、19共4个小题2个大题.

（3）活加层次、动添参数.即通过增加题目的层次，设置隐含陷阱、引进讨论的参数，改变设问的方向，提高题目的灵活性和综合性.有文、理科20、21两个大题.

这些“变式题”源于教材、活于教材，重视对基础理论和通性通法的考查，成为考生人见人爱的“开胃菜”.特别值得一提的是理科21（Ⅰ）题即为人教大纲版高中数学第二册（上）复习参考题八的B组第3题.这让我们想起2010年四川高考数学中证明“两角和的正、余弦公式”.看来，出于重视基础、回归课本的良苦用心，四川高考是不回避直接考查教科书现成习题、公式的.

理科21题：如图1，动点M与两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

图1

点评：本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数与方程、分类与整合等思想，并考查思维的严谨性.根植课本重基础，推陈出新考能力.文科21题题干和第（1）问的难度比理科略小.

试卷背景的取向靠近教材和考生的学习实际，让考生处于一个较为平和、亲切的氛围中，以增强解题信心.这些根植于教材的题目背景熟悉、运算量不大.能较好考查学生的基本数学素养，有利于引导中学数学教学克服“题海战术”和“魔鬼训练”，真正回归教材、重视课本、减负增效、实施素质教育，也充分体现了试题背景的公平性.此外，在国家提升高考考试密级的今天，“用课本编拟高考题”也是命题组规避保密风险、减少舆论压力、善于明哲保身的高智商之举.

根植课本重基础，平和稳定是主流.高三的教学与复习，应当紧抓课本不放松.将课本的知识、问题熟悉化，在变化的过程中学习新知，获得解答问题的技能.变化时需要将问题适度发展、改造、组合、串联、并联，形成题组，使知识的获得、能力的形成放植于有效训练的过程里.课本“变式教学”是避免“题海战术”和“以教辅代教材”的高招、是“素质教育”与“应试教育’的完美双赢，是最具中国特色的数学高效教学法，是当今高考复习应考的法宝.广大一线师生要自觉地主动地培养“变式教”与“变式学”的技能和习惯.

二、主干考查主旋律，能力立意是亮点

1.全面考查，突出主干

试卷既重视基础知识的全面考查，又突出主干知识的重点考查.基础题主要考查高中数学最基本的概念，中档题一般在知识的交汇点处考查主干知识，而有一定难度的题目则需要数学思维能力很强的考生才可能做好.全卷涉及的知识点覆盖了整个高中数学教材的所有知识板块，对高中数学教材的六大类主干知识，即函数与导数类、数列与不等式类、三角与向量类、解析几何类、立体几何类、概率与统计类等都进行了重点考查.各主干知识出题个数、分值与《考试说明（四川版）》、《教学大纲》规定的各主干内容教学时数大致相当.

理科考查函数和导数的有4个选择、2个填空、4个解答共10个题目，涉及分值60多分.具体是：3题有关函数极限，5题有关指数函数图像，9题有关线性规划目标函数最值应用题，12题有关函数、三角函数、数列求值、单调性，15题有关目标函数最值，16题有关高斯函数信息迁移，18题有关三角函数周期、值域、整体变角求值，20题有关对数函数、二次函数及特殊函数（数列）的单调性、前n项和的最值，21（Ⅱ）题有关二次函数实根分布，22题有关二次函数求导及构造新函数求导、求最值、证明辅助不等式（文科还多考了一个求简单无理函数的定义域，即13题）.

理科考查数列的题有1个选择、1个填空、2个大题共4个题目，分值25分左右，这些题全是把关题，两个小题更是选择、填空的压轴题.具体是：以数列为载体的12、16题，20题则是递推数列中求特殊项、通项以及转化为等比、等差数列后求前n项和的最值，22（Ⅲ）题涉及等比数列求和（文科有相应运算量略小的姊妹题）.今年数列解答题比前几年降了温，但小题难度却很大，看来四川高考数学喜欢把数列当“重头戏”编写剧本.究其原因，数列一直是高端思维的“富矿区”.

理科20题：已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立.

（Ⅰ）求a1，a2的值；

点评：本小题主要从三个层面进行了考查.（一）知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；（二）能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；（三）数学思想层面：考查方程、分类与整合、化归与转化等思想.朴实灵动、不落俗套.

理科考查不等式的题目有1个选择、1个填空、3个大题共5个题目，分值达30分.具体是：9题有关线性规划最值应用题，16题有关高斯函数、数列为载体的不等关系判断，20（Ⅱ）题有关利用不等关系判断单调等差数列前n项和的最值，21（Ⅱ）题有关不等式解法及推导线段比值范围，22后两小题有关不等式证明及不等式恒成立问题（文科有相应运算量略小的姊妹题）.

文科16题：设a、b为正实数，现有下列命题：

其中的真命题有________.（写出所有真命题的编号）

答案：①④

点评：本题考查等量关系下不等关系的识别.背景熟、解法灵活，兼具基础考查和能力检测.看似寻常却奇妙，智商情商分高低.

理科考查向量、三角函数的题目有3个选择、3个大题，分值达40多分.具体是：4题有关三角函数定义、和差角公式、正余弦定理，7题有关单位向量、共线向量，12题有关三角、函数、数列综合求值题，18题有关三角函数中二倍角、降幂、辅助角公式、振幅、周期、变角法，19题有关利用法向量求线面角、二面角，21题求轨迹方程涉及二倍角公式（文科除21题外，其他有相应运算量略小的姊妹题）.

图2

（Ⅰ）求ω的值及f（x）的值域；

点评：本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、整体转化等数学思想.三角函数图像中巧妙“嵌入”内接正三角形，活而不难、平中见奇.

理科考查解析几何的题目有3个选择、1个填空、1个大题共5个题目，分值31分.具体是：8题有关抛物线焦半径、距离公式，9题有关线性规划最值应用题、11题有关以抛物线为背景的排列组合，15题有关椭圆焦点三角形周长、面积问题，21题有关斜率、两直线到角公式、双曲线轨迹方程、线段比值范围问题等（文科有相应运算量略小的姊妹题）.

理科考查立体几何的题目有2个选择、1个填空、1个大题共4个题目，分值26分.具体是：6题有关空间线面位置关系，10题有关球面距离，14题异面直线所成的角，19题有关三棱锥中线面角、二面角问题（文科三个小题与理科相同，19题题干略简易、问题与理科完全相同）.

理科考查“排组二”及概率统计类题目有2个选择、2个大题，分值22分.具体是：1题二项式定理，11题排列组合，17概率、分布列、期望.11题有关排列组合，注重思维考查，较难.1、17题较简单（文科还多考了统计3题）.

“全面考查、突出主干”的命题举措，有利于引导高中数学教学在注重基础知识的同时，突出重点、突破难点、解析疑点，把力用到“刀刃”上，避免“蜻蜓点水”、“眉毛胡子一把抓”，而是把复习的主要时间和精力用在主干知识的夯实与提升上.可谓“主干是个纲，纲举目张”.

2.通法技巧，贯穿始终

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学的精髓，是对数学本质的理性认识，是数学学习的指导思想和普遍使用的通法，是高考考查的核心.

今年数学四川卷突出重点热点、重视通法技巧，此特色贯穿于整个试卷之中.考查的数学思想方法有：数形结合思想，如理科第5、8、12、15、18、19等题，文科第4、9、12、15、19等题；分类与整合思想，如理科第11、20、21、22题，文科第11、20、22等题；函数与方程思想，文、理科第12、20、21、22等题；特殊与一般思想，文、理科12、16、20、22等题；转化与化归思想，在文、理科17题以及后面三个解答题中体现突出；坐标化思想，在19、21两道立体几何、解析几何题中体现突出，而渗透其中的方程思想则是坐标化思想的核心.

特别指出，理科第12、16、22等压轴题，其思维难度高、运算量大，但借助于直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理等技巧，运用数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想，则可走出“山重水复疑无路”的困境，迎来“柳暗花明又一村”的景色.

答案：D

点评：本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列的性质和三角函数性质的综合应用以及代数推理能力、计算能力，需考生加强知识系统化、网络化学习.另外，cosa1+cosa2+…+cosa5=0隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.

①当a=5时，数列｛xn｝的前3项依次为5，3，2；

②对数列｛xn｝都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；

其中的真命题有________.（写出所有真命题的编号）

答案：①③④

点评：此题难度极大，不容易寻找解题的切入点，特殊值列举是很奏效的解决办法.

通法是熟练了的技巧，技巧是陌生的通法，当我们对一种解题技巧有刻骨铭心的感受时，最易固化成我们心灵深处的通法.辨证地应用通法和技巧，有利于纠正“教学题型化”、“解题套路化”的片面做法，有利于训练优生高品质的思维、提升他们应对把关题、压轴题的综合素养与应变能力.

3.能力立意，意在选拔

试卷以能力立意为核心，坚持多角度、多层次地考查数学能力.第18～22等题考查了逻辑思维能力和运算能力；第10、14、19等题，考查了空间想象能力；理科第9、17题，文科第3、17题考查了应用意识和阅读理解能力；文理科第10、12、22等题及理科第16题考查了创新意识.如文、理科第16题是一道阅读理解题，需要考生在考场上临阵思考、学习和运用，也真正考查了学生对数学问题的理解和分析能力.一些试题重视对思维品质的考查，如理科第12、16、20、21、22题能有效考查考生数学思维的发散性、严谨性、深刻性和创造性，有利于甄别优中差.高考的核心就是一个选拔，严格的选拔就意味着激烈的竞争.激烈的竞争呼唤超凡脱俗的、富含思维价值的、具有挑战性的高端原创试题.

试卷具有起点低、结尾高、入手易、深入难等特点，各类题型的起始题比较容易但压轴题较难，6个解答题的入手都较容易但要解答完整却并非易事.文、理科1～7题、13、14、（17）（Ⅰ）题，用较短时间就可完成.文、理科的11、12、16、21、22等题，知识的综合性强并且能力要求高，对考生思维的灵活性、深刻性、批判性、创造性提出了较高要求，需要考生具有较强的数学能力，方可跳出“会而不对、对而不全”的怪圈.特别是文、理22题属于高档题，难度极大.命题人高屋建瓴，别具匠心.站在学科整体的高度，以抛物线、切线、截距等为载体，将函数、导数、不等式、二项式定理、数列等主干知识融为一体，检测了分析法、放缩法、估算法、构造法、导数法、叠加法等数学基本方法，考查了函数与方程、化归与转化、特殊与一般、猜想与证明等数学重要思想.成为今年四川高考试卷的“压轴戏”和“最美风景”.

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

三、命题创新大探索，支持课标新理念

今年是四川大纲版教材高考的最后一年，明年新课标下的高考将闪亮登场.目前新课程改革正如火如荼的进行，高考数学试题理应关注高中数学新课程的进程，汲取新课程的新思想、新理念，使高考数学更加反应数学教育改革的发展方向.因此，大纲版课本和《新课程标准》的交集成为高考试题的创新地带，其创新之处体现在以下几方面.

1.和而不同，文理有别

试题起点较低，由易到难，循序渐进，形成一定的梯度.基本没有偏题、怪题，与平常的教学和高三总复习资料题相吻合.适当增加了中档试题比重，中档试题比重在50%左右，避免了前几年“送分题”太多，选择、填空题“清汤寡水”的感觉.使全卷难度分布合理，有利于稳定考生的情绪，有利于考生的正常发挥，使试卷具有明显的层次感和良好的区分度.

文、理科试卷在试题内容、编排顺序、难度要求等方面都有较为合理的差异.理科创新力度较大，文科试卷相对稳定.理科侧重考查抽象概括、理性思辨能力，文科侧重考查形象直观、具体应用.最主要的是控制了文科试题的思维高度和运算难度.如文、理科第14、19题求线线角、线面角、二面角，可用向量法与传统法，考查思维的差异性.

理科19题：如图3，在三棱锥P－ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC.

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角B－AP－C的大小.

图3

（Ⅱ）二面角B－AP－C的大小为arctan2.

点评：文、理科19题问题相同、但文科题干略简单.如图4，在三棱锥P－ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上.体现了文理差异.

图4

文、理不同的题有5个.而以姊妹题体现差异的有11个，文科姊妹题的起点普遍较理科低，比如都考了线性规划，理科是应用题需要读题建模，文科就直接给出约束条件和目标函数.但文科的压轴题接近理科压轴题的思维难度，这有利于选拔文科数学尖子生.

文、理科试卷相同题有6个.即6个选择题相同：理1文2、理4文5、理6文6、理7文7、理8文9、理10文10.

姊妹题有11个.即4个选择1个填空6个解答：理5文4、理9文8、理11文11、理12文12、理15文15、文理17～22.

文理不同题有5个.即理科2、3、13、14、16及文科1、3、13、14、16.主要是文、理科选修内容不同所致.

文科试题在思维量、运算量、能力要求等方面明显低于理科试题的要求.这样的设计体现新教材的特点，反映四川文、理科数学各自的特点和要求.对文科学生学好数学有积极意义.

2.少算多想，思维优先

数学思维能力的考查在大部分试题中得到了充分体现.如文、理科第1～8、13、14、15、17（Ⅰ）等题，都不需要较多的运算就可得出结论.理科第5、7、10、12等题，文科第4、7、10、12等题，具有思维量大但运算量小的特点.

答案：3.

点评：本题考查的是椭圆内的焦点三角形问题，但文、理问法不一.如果能利用“三角形任意两边之和大于第三边”的性质分析出“线段AB过右焦点时三角形周长最大”，将大大简化计算.

文、理科第20题，若能运用特值法、“借鸡生蛋”法、转化法、估算法及对数函数的单调性就能较快地解决问题，并避免烦琐的计算.文科的16题看起来很吓人，但如果用特殊值法，就能又快又准地得到答案.理科的16题，定义新概念“［x］”（高斯函数），考查考生对新知识、新概念的阅读、理解、接受和运用的能力，以反映学生学习潜能的高低，区分不同水平层次的学生.该题的前两个较易验证，后两个需要较强的分析能力.理科第12、16、22等题，其思维难度高、运算量大，但借助于直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理等方法，运用数形结合、函数与方程等数学思想，其运算就比较简单.这些题较好地体现了“多考点想，少考点算”的命题理念，今年全卷的运算量和书写量比过去几年有所降低，但思维量有所增加.这些做法能更好检测考生的数学素养和进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生.

3.青睐探究，呼应课改

《普通高中数学课程标准（实验）》强调指出：学习数学是一种“多元”的智能活动.学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，动手实践、自主探索、合作交流、阅读自学等均是数学能力发展不可或缺的重要方式.

新课标教材设立的“观察”、“思考”、“探究”、“发现”、“阅读”、“实习作业”等新栏目，带来了教学观念和方式的深刻变革，成为课堂教学改革的一大亮点.顺应这一理念而“闪亮登场”的高考“实验探究”题，成为今年四川高考数学卷求新求变、耐人回味的“特色菜”.

理科11题： 方程ay=b2x2+c中的a、b、c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a、b、c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）.

A.60条 B.62条 C.71条 D.80条

方法1：ay=b2x2+c，若表示抛物线，则a≠0，b≠0；又可能出现重复，所以采用树状图，直观，容易识别重复的！

当a=-3，3，或-2，2时，通过画树状图排除重复的情形，各有4×4-3=13（种）情况；共有4×13=52（种）情况；

当a=1时，b=2或-2时，b2=4，这时就出现了重复的数据，也就是c=-3，0，3，所以总数为2×4-3=5.同理b=3或-3时，b2=9，也出现了重复的数据，是c=-2，0，2，总数为2×4-3=5.

这样一共有抛物线52+10=62（条）.

图5

以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23（条）.

同理当b=-2或2时，共有23条；当b=1时，共有16条.

综上，共有23+23+16=62（条）.

点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线.画树状图和列举法是解决排列、组合、概率等问题原始却有效的办法，要能熟练运用.

理科12题的解答，考生需要借助于直觉思维先猜想出5个余弦值的和为0的结论，然后利用函数的单调性证明该结论的正确性.理科16题的解答，考生可根据不同的值算出数列的前几项，发现其规律，借助于特殊情况的经验，猜想出一般结论，进一步得到正确答案.文、理科22（Ⅱ）问是求最小值，解答此题需要先通过试算探寻结论，然后再严格证明.第（Ⅲ）问设计更有挑战性，其思维程序是：试算——猜想——构造——证明——运用.命题专家巧将科学探究的过程与方法、情感态度价值观融于其中，体现了与新课程的对接.其解答清新明快，给人愉悦的感觉，体现了数学美，突出了数学的文化价值.

四、听“杂音”走向完善，悟“规则”达到提升

高考之后，哭声一片.四川学生尤感数学最难、最惨.

不少一线师生对个别数学题“偏、难、新、怪”颇有微词，发出“此卷只应天上有，只有神仙算得出”的惊叹.客观理性地看，今年四川高考数学卷新意频频、亮点闪闪.虽然尖子生要想考120～140分比较困难，但中等生考90～110分还是容易的.研究四川高考动向，笔者感觉11、12、16、21、22这几个把关题的“大麻大辣”川味还会延续.因为高考还在，竞争就在.竞争还在，四川高考把关题“辣死人的味道”就在.因为高考命题组成员有其稳定性、传承性.同时要甑别不同批次的学生水平，没有题目的新颖度和思维的挑战性是不行的.加之四川多年自主命题探索积累的经验不会轻易丢弃，形成的风格不会短期突变.

命题组应心平气和倾听“杂音噪音”，在专家意志与民间诉求的智慧交锋与思想碰撞中，让命题工作走向更加和谐、更加完善.我们一线教师不能停留在推诿、责怪上，有责任感、有智慧的阳光心态应是：如何引导、训练自己的学生适应这种“命题风格”，成为这种“游戏潜规则”的胜利者？那就是在搞好常规教学的同时，对“川味”高考有深刻透彻的分析与驾驭，对新课标教学、对竞赛选修课、对高等数学及前沿科学的研究性学习要有“亲密接触”与前瞻性体验，对“培优磨尖”多出高招、实招.少点怨气牢骚，多与高考专家及教育发达的成、绵两地同行交流，共同领会新课标理念，共同触摸高考脉动.虽然苦、累，但成就学生梦想，促进自己的专业成长，一定会特别快乐.

“基础”“能力”两手硬，“清淡”“麻辣”一卷香.四川高考数学卷特色鲜明、锐意开拓.正朝着更注重素质和能力考查的方向进行试验与研究，既源于教材，又高于教材；既以高中数学教学大纲和数学课程标准为依据，又不拘泥于大纲和课标；既突出中学基础知识的考查，又关注与大学内容的衔接；既追求命题的创新，又不回避传统经典问题.在对立中寻求统一，在矛盾中得到发展.

年年岁岁考相似，岁岁年年题不同.

但愿来年，四川有更精彩的数学试题，有更美丽的高考故事.

肖斌，男，44岁，国家级示范性高中——四川省巴中中学高级教师，四川省特级教师，四川省骨干教师，四川省优秀教师，中国数学会会员，巴中市中数专委会副理事长.已在省级以上正式报刊发表论文1000余篇，主（参）编高、中考书籍15部.培养省市数学单科状元、市理科总分状元、北大清华学子数十人.