对一道高中数学联赛题的探究——二次曲线切点弦的一个性质

☉江苏省昆山中学 戈 峰

对一道高中数学联赛题的探究
——二次曲线切点弦的一个性质

☉江苏省昆山中学 戈 峰

笔者在研究2011年全国高中数学联赛四川省预赛第15题时，得到关于二次曲线切点弦的一个性质，现把探究过程整理如下.

一、问题的分析

问题：抛物线y=x2与过点P（－1，－1）的直线l交于P1，P2两点.

（1）求直线l的斜率k的取值范围.

二、问题的解法探究

问题已经解决，但是思维的火花并未结束，问题在于点Q所在的直线2x+y－1=0是否与点P与抛物线有着特殊的位置关系呢？探究如下.

图1

三、问题的几何背景

然而爱因斯坦曾说过：“我们没有什么特别的才能，不过喜欢寻根问底地追究问题罢了.”所以我不禁要问自己，这个结果难道只是一个巧合或特列，对其他圆锥曲线或更一般的二次曲线是否相似结论呢？

四、问题的推广探究

此方程为关于x，y的二元一次方程，所以代表的图形应该为直线，设此直线为l′，即点Q在直线l′上.

另外，过曲线Γ外一点P（a，b）的切点弦所在直线方程为：

波利亚说过：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明.”本文对一道直线与抛物线的问题进行解法探究、几何背景探究、结论推广探究，利用直线参数方程的方法可把此题推广到一般性的二次曲线的切点弦具有的一个优美的性质.