与完全平方有关问题的求解策略

☉湖北省云梦县第一中学 何 明

与完全平方有关问题的求解策略

☉湖北省云梦县第一中学 何 明

我们把形如“a2+2ab+b2”这样的式子叫做完全平方式，有关完全平方的话题是各级各类竞赛命题的热点，本文将这类问题加以归类，提出一些基本方法，供读者参考.

一、根据定义求值

例1 要使x2+2（m+2）x+16成为一个完全平方式，则m的值是________.

解析：先根据平方项确定出这两个数，再利用完全平方式的乘积二倍项列式即可求出m的值.因为x2+2（m+2）x+16是完全平方式，所以2（m+2）x=±2·x·4，解得m=2或m=-6.

评注：本题依据完全平方公式的特征直接解答.两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项，注意答案有两个．

二、根据非负数求值

例2 已知实数a、b、c满足a+b=5，c2=ab+b－9，则c=________.

解析：因为a+b=5，所以a=5－b，所以c2=（5－b）·b+b－9=－（b－3）2，因为（b－3）2≥0，而－（b－3）2≥0，所以b－3=0，所以c=0.

评注：初中阶段常见的非负数的形式有三种：实数的偶次方为非负数；实数的绝对值为非负数；算术根亦为非负数.常用的非负数的性质有三个：如果几个非负数的和为零，则每个非负数必为零；非负数的和、积、商（除数不能为零）仍为非负数；最小的非负数是零，无最大非负数.

三、巧妙构造求值

例3 已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，试求：a4+b4+c4的值.

评注：利用完全平方的变形式可以巧妙、灵活地求出较复杂的代数式的值.

四、根据奇偶性求值

例4 一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为________.

解析： 设这个正整数为a，a+100=m2，a+168=n2，m、n是正整数.

则n2-m2=68，即（n-m）（n+m）=68，根据奇偶分析可知，n-m、n+m奇偶性相同，因为68是偶数，所以可列方程组：

评注：整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以外，我们还应掌握以下性质：①设a、b为整数，则a与an的奇偶性相同；a+b、a-b的奇偶性相同.②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反.若m为整数，b为偶数，则m±b的奇偶性与m相同.③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同.

五、分类讨论求值

例5 已知n是正整数，且47+4n+42010是完全平方数，求n.

解析：本题需分类讨论，47+4n+42010=（27）2+22n+（22010）2.

（1）将22n看成是“2ab”，

由于它是完全平方数，所以22n=2×27×22010=22018.

（2）将22n看成是“b2”，所以47+4n+42010=（27）2+24020+（2n）2，所以2×27×2n=24020.

评注：分类思想是一种重要的数学思想，使用分类思想解题，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.其关键是把握好分类标准，做到不重复，不遗漏.

六、通过夹逼法求值

例6 已知n是自然数，且n2-17n+73是完全平方数，那么n的值是________或________.

因为（n－8）2与（n－9）2是相邻平方数，

所以n2－17n+73不是平方数.

评注：夹逼法是一种较为典型的解题方法，它常常用于解决与正整数有关的一些问题.其基本思想是：以一定的限定条件为依据，对所研究的对象进行考查，先估计研究对象的存在范围，这样“可能”的对象被减少，符合条件的对象也就变得易于探求，最后得到我们所需要的结果.

与完全平方有关问题的求解可以通过以上几个问题进行说明，通过几种方法的学习，可以帮助了解此类题型的特点，以便学生们更好地备考.