怎样解二次函数图像信息题

☉江苏省宝应县实验初级中学 汪国银

怎样解二次函数图像信息题

☉江苏省宝应县实验初级中学 汪国银

二次函数是各地中考试题的热点内容，二次函数的图像是二次函数的重要内容，其中根据图像信息解答相关问题不仅是考查同学们的观察能力，同时也需要同学们对二次函数问题要有一定的处理能力．下面为同学们举例说明.

一、排除法

例1 函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图像大致是图1中的（ ）.

图1

解：在A中，从直线来看，a＜0.从抛物线来看，a＞0，两者矛盾，故排除A.

在B中，从直线来看，a＞0，b＞0.从抛物线来看，a＞0，＞0，所以b＜0.两者矛盾，故排除B.在C中，从直线来看，a＞0，b＜0.从抛物线来看，a＞0，＞0，所以b＜0，没有矛盾.

在D中，从直线来看，a＞0，b＞0.从抛物线来看，a＜0，c＞0，两者矛盾，故排除D.

综上所述故选C.

评注：本题主要考查二次函数与一次函数的图像及性质，一次函数中a＞0时图像必经过一、三象限，a＜0时图像必经过二、四象限；b＞0时与y轴的交点在x轴的上方，b＜0时与y轴的交点在x轴的下方.二次函数中a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；ab＞0时，对称轴在y轴左侧，ab＜0时，对称轴在y轴右侧.解答选择题时，有时用排除法能达到事半功倍的效果.

第四种迹象：多角度、深层次的语言研究。日益强大的信息和人工智能时代，迫使艺术家向机器无法达到的境地探索，进一步将材料语言推向极致。与此同时，物质背后所承载的丰富的文化线索和全新的材料试验让这一方向生机勃勃。

例2 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是图2中的（ ）.

图2

解析：本例将二次函数与一次函数的图像放在同一直角坐标系中，加大了知识的考查力度.我们先根据图像来分析：

（1）如果m＞0，则由一次函数y=mx+m的性质，可知其图像上升，且与y轴的交点在x轴上方，很明显，只有C满足，但对二次函数y=－mx2+2x+2而言，当m＞0时，其开口方向应向下，显然不合，所以C不可能.

（2）如果m＜0，则由一次函数y=mx+m的性质，可知其图像下降，且与y轴的交点在x轴下方，这些A、B和D都满足，但对二次函数y=－mx2+2x+2而言，当m＜0时，其开口方向应向上，所以A不可能.

只有D满足条件，故应选D.

点评：本题和例1不同，m的位置不同，同时在一次函数和二次函数中出现，我们就要根据图像找出它们的信息，只有完全符合m三个位置的要求的值，才是题目的答案.

二、图像分析法

图3

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图3所示，则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a－b+c＜0，其中正确的个数（ ）.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

分析：由图像知有a＜0，c＞0，所以ac＞0成立，由于对称轴在y轴的右侧，所以＞0，又a＜0，所以b＞0，所以方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0不一定成立，y随x的增大而增大也不成立，由图像可知当x=1时，y＜0，即a－b+c＜0正确，故选C.

解：由以上分析应选C.

点评：考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与a、b、c的关系、二次函数的图像.考查了同学们的数形结合能力和创新应用能力.

图4

A.M＞0 B.M＜0

C.M=0 D.M的符号不能确定

解析：解决本例的基本思想仍然是数形结合.由抛物线在坐标系中的位置，确定其系数及其代数式的符号.

（1）由图像可知，当x=－2时，其对应点在x轴的上方，即y＞0，则4a－2b+c＞0；

（2）由图像可知，当x=1时，其对应点在x轴的下方，即y＜0，从而a+b+c＜0；

因为a＜0，2a－b＜0，所以M＜0，故应选B.

图5

三、特殊值判断法

例5 已知=次函数y=ax+bx+c的图像如图5.则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以判断a＜0，b＞0，c＜0，故ac＞0，a+b+c=0，4a－2b+c＜0，2a－b＜0.

解：由对称轴和特殊值1及以上分析知选A.

评注：本题主要考查二次函数的图像和性质，在解决此类问题时要综合利用抛物线的图像和特殊值来解题．

四、综合判断法

例6 小明从图6所示的二次函数y=ax2+bx+c的图像中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a－b+c＞0；④2a－3b=0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）.

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

分析：先用图像分析法，再用特殊值判断，最后再用排除法即可解决.

解：由图像与y轴交点在x轴下方，所以c＜0，①正确；又开口向上，所以a＞0，又＞0，所以b＜0，故abc＞0，②也正确；当x=－1时，y＞0，即a－b+c＞0，③亦成立；又因为x=，即=，所以3b=－2a，即2a+3b=0，所以④不正确；同理⑤也正确；所以共有四个结论是正确的，故选C.

图6

评注：本题综合了以上几种方法来解决问题的，它考查了同学们的综合分析问题的能力以及从图像中获取信息的能力．

综上所述，在解决二次函数图像信息题目时，我们只要抓住a、b、c与图像的开口方向、对称轴的位置、在y轴上的截距的关系，并结合题目中其他条件，就能准确求解.