分式方程无解与增根之间的奥秘

☉河南省南阳市第二十九中学 郭 冲

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此.

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征：其一，它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解；其二，它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形：其一，原方程化去分母后的整式方程无解；其二，原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.现举例说明如下.

A.解为 x=2B.解为 x=4C.解为 x=3D.无解

解：方程两边都乘以（x-2），得 1-x+2（x-2）=-1②.

解这个方程，得x=2.

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.

所以原方程无解，这个题目应选D.

点评：显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2.而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根.本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，而原方程无解.

解：去分母后化为 x-1＝3-x+2（2+x）.

整理得 0x＝8.

因为此方程无解，所以原分式方程无解.

点评：此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了.由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根.

方程两边都乘以x-2，得x-3=-m.

解这个方程，得x=3-m.

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即x=2，

所以2=3-m，解得m=1.

故当m=1时，原方程无解.

点评：因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解.但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，能将分式方程化为一元二次方程，那时有些分式方程虽有增根但也有解，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例.

解：方程两边都乘以 x（x-1），得（x-a）x-3（x-1）＝x（x-1）.

整理得（a+2）x＝3. ②

因原方程无解，则有两种情形：

（1）当 a+2＝0（即 a＝-2）时，方程②为 0x＝3，此方程无解，所以原方程无解.

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解.原方程若有增根，增根为x＝0或1，把x＝0或1代入方程②中，求出 a＝1.

综上所述，a＝1或-2，原分式方程无解.

若将此题“无解”改为“会产生增根”，即：

若原分式方程有增根，则x＝0或1是方程②的根.

把x＝0或1代入方程②中，解得，a＝1.

点评：做此类题应首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

总之，弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判断方程解的情况有一定的指导意义，同时可有效地解决分式方程增根的问题.