数学猜想在初中几何解题中的应用初探

☉广东省惠州市惠阳高级中学初中部 陈小明

猜想是人们根据事实的某些现象对它的本质属性、服从规律、发展趋势或可能结果作出的一种预测性判断.猜想与数学有着密切的关系，根据某些已知的事实材料和数学知识，对未知的现象及其规律所作出的一种预测性的推断即是数学猜想.数学猜想是数学研究的一种科学思维形式，是解决数学理论自身矛盾疑难问题的一个有效途径，它对丰富数学理论，推动数学科学的发展，促进数学方法论的研究具有重要意义.数学研究是一种探索性思维活动，数学学习活动当然也离不开探索性思维，而探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜想.数学猜想作为数学研究和发展的一种重要思维方式，它又是科学假说在数学中的具体表现，并深刻反映了数学研究和发展的相对独立性与数学理论的相互导出的合理性.数学猜想在数学领域的应用很广泛，在解题时有时凭我们的直觉思维是很难解决的，这时我们从猜想的角度去解决有时会觉得很容易；尤其在考试中，在时间有限的情况下，利用数学猜想往往可以让问题很快得到解决.考试作为检查教学质量、学生成绩和升学的最主要手段，让学生学会利用数学猜想解题，显得尤为重要.下面从数学猜想的直觉性、不确定性、延续性、多样性这四个特点初探它在初中几何解题中的应用.

一、数学猜想的直觉性

数学猜想的直觉性就是从数学题目的已知条件直接猜想结论成立.

例1 如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于E，延长AE交△ABC的外接圆于D，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°、∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想.

此题学生经过很久的讨论最后猜想是菱形.

证明：因为∠BDA=60°，∠BDC=120°，所以弧BAC的度数为240°，弧BDC的度数为120°，∠BEC=120°，又因为AE平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=30°，所以弧BD=弧CD的度数为60°，所以∠BAD=∠CAD=∠DBC=30°，BD=DC.所以∠DBA=90°，所以∠CBE=∠ABE=30°.所以∠DBE=60°.同理：∠DCE=60°.所以四边形BDCE为平行四边形.又因为BD=DC，所以四边形BDCE为菱形.

从上面这道题可以看出猜想的直觉性是凭直觉获得感性认识，它常以观察、联想、引入等思维方法为基础，根据已有的知识、经验和方法，对数学问题广泛联想，积极探索，大胆猜想，寻找规律，合理论证，是创造性思维活动的主要途径.

二、数学猜想的不确定性

数学猜想的不确定性是指猜想的途径、结果等方面的不确定.有时一道题从表面去猜想几种答案都有可能，但正确答案又只有一种，这就增加了猜想的难度.看下面例子.

例2 想一想：圆的外切四边形的两组对边的和有什么关系？说明你的结论的正确性.

此题刚提出时，要求同学们自己画图，这时有些学生画出的四边形是正方形、梯形、任意四边形.答案也出现三种情况：（1）AB+CD>AD+BC.（2）AB+CD

这时提示学生不要画特殊图形，画圆的外切四边形为任意四边形，要求学生证明他们的三种结论，结果是得出答案（3）的学生能证明自己的结论正确.

已知：如图2，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆分别相切于点L、M、N、P.求证：AB+CD=AD+BC.

证 明 ：AB、BC、CD、DA 都 与 圆 相

切，L、M、N、P是切点，AL=AP、LB=MB、DN=DP、NC=MC.AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AP+DP+MB+MC，即AB+CD=AD+BC，圆的外切四边形的两组对边的和相等.

图2

猜想的不确定性有时会把我们引入误区，这时我们只要一步步地去尝试了，没有更好的办法，然后通过论证去推翻我们一开始的猜想，直到其中有一种猜想是正确的为止.

三、数学猜想的延续性

数学猜想的延续性，也就是在第一次猜想的基础上，再继续猜想下去直到猜想的结论成立.

例3 如图3，已知四边形ABCD外接圆的半径为2，对角线求四边形ABCD的面积.

图3

此题难度较大，需要几次猜想延续下去 才能计算出来.开始有同学猜想是平行四边形、正方形.但都证明不出来.这时提示：猜想一：把四边形的面积转化为求三角形的面积. 猜想二：S四边形ABCD=2S△ABD，猜想三：连接OA，OA⊥BD于H.猜想四：△ABE∽△ACB

四、数学猜想的多样性

数学猜想的多样性是指猜想的途径和结果具备多样性.一道题的猜想，学生有时猜出多种多样的猜想结果，但不管是怎样的结果答案只有一个.

例4 如图4，BC为半圆O的直径，A是半圆上的一个动点，且AD⊥BC于D，P是弧AC上的一点，弧PA的长等于弧AB的长，连接PB交AD、AC于E、F.

（1）求证：∠EAB=∠ABE.

（2） 当A在什么位置时，△AEF是等边三角形？证明你的结论.

证明：（1）因为∠BAE+∠ABD=90°，所以∠C+∠ABD=90°.所以∠BAE=∠C.又弧PA的长等于弧AB的长，所以∠C=∠ABE.

所以∠BAE=∠ABE.

（2）当A在半圆的三等分点时，△AEF是等边三角形.

图4

因为∠DAC+∠C=90°，∠AFE+∠ABE=90°，由 （1）得∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠DAC.

所以EA=EF 因为点A三等分半圆，所以∠ACB=30°，所以∠BAC=60°，所以△AEF是等边三角形.

此题实际上有很多种猜想，比如当AB=1/2BC时，AO的连线垂直平分线段EF，还有一部分学生利用逆推的方法假设它是一个等边三角形然后再证明.

从以上几个方面可以看到，用数学猜想解题切合学生实际，符合学生的认识规律，注重知识形成过程，注重学生思维的发展，注重学生能力的培养.它改变了单纯的直接的解题模式，实现了以激励学生为特征的解题模式，符合新课标下快速解题的要求.

猜想是人类认识中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富于创造性的部分.著名科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现.”在数学发展史中曾有过很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、费马猜想、欧拉猜想等，这些猜想具有划时代的意义.在初中数学解题中，只要善于运用数学猜想，便能更好地激发学习兴趣，培养思维能力，开发智力，从而更好地解决新问题.