他山之石 可以攻玉

☉江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣

勾股定理形式简单、寓意深刻，是人类的宝贵财富.关于勾股数，人们有如下的发现：

例1AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合.

（1）求证：△AHD∽△CBD

（2）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO

解：（1）略；

（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x.

在Rt△HOD中，由勾股定理得：

例2 探索研究：

（1）求证：H点为线段AQ的中点；

（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；

解：（1）、（2）①略；

过P作PG⊥y轴，垂足为G，在Rt△APG中，AP=

所以平行四边形APQR为菱形.

（3）略.

例3（2010年江苏南通卷）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.

（2）相切；

（3）如图3，过点P作PH⊥l，垂足为H，延长HP交x轴于点G.

所以OP=PH，要使△PDO的周长最小，因为OD是定值，所以只要OP+PD最小.

（1）求b的值.

（2）求x1·x2的值.

（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论.

（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切.如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由.

解：（1）b=1；（2）、（3）略；

（4）存在，该直线为y=-1.理由如下：

直线y=-1即为直线M1N1.

通过以上例题的分析，我们发现：只要选择恰当的解决问题的方法，看似困难的问题往往并不像看上去那么困难，我们似乎得出这样的结论：因为世上很多道理都是相通的，所以只要我们用心去发现，智慧就在我们身边.