圆锥曲线切点弦所在直线方程

☉北京师范大学出版集团 岳昌庆

为什么讨论圆锥曲线的切线问题？一方面，圆内已讨论切线问题，学生自然就会探索其他圆锥曲线的切线问题；另一方面，导数知识的加入，也使研究圆锥曲线的切线更成为可能.

本文约定：

圆锥曲线的内部：包括焦点（或圆心）的圆锥曲线所围成的平面区域；

圆锥曲线的外部：不包括圆锥曲线及圆锥曲线的内部的平面区域.

若自点P0（x0，y0）可作二次曲线的两切线，两切点所连线段叫做点P0关于此曲线的切点弦.

可得以下结论：

曲线名称 曲线方程 切点弦方程 点P0位置圆 x2+y2=r2 x0x+y0y=r2 x02+y02＞r2椭圆 x2 a 2＞1双曲线 x2 a 2+y2 b2=1（a＞b＞0） x0x b a2+y0yb2=1 x02 2-y2 2-y0y b a2+y02 b 2=1（a＞0,b＞0） x0x a 2＜1抛物线 y2=2px（p＞0） y0y=p（x+x0） y02＞2px02=1 x02 a2-y02 b

例2 ［2008年高考山东卷（理科）］

设抛物线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.

（1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当点M的坐标为（2，-2p）时，｜AB|=，求此时抛物线的方程；

为保证切点弦的存在，点P0必须在椭圆（或圆）的外部，双曲线的外部（即不包括双曲线焦点的平面区域），抛物线的外部（即不包括抛物线焦点的平面区域）.

下面以圆的切点弦方程为例，证明如下.

设点P0（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，由P0向该圆引两切线，设两切点分别为A、B，则点P0关于此圆的切点弦AB所在直线方程为x0x+y0y=r2.

由已知可设A（xA，yA），B（xB，yB），xA≠xB，则：

切线PA所在直线方程为xAx+yAy=r2；

切线PB所在直线方程为xBx+yBy=r2.

由P0（x0，y0）∈PA，得x0xA+y0yA=r2.

同理，x0xB+y0yB=r2.

即点A，B的坐标分别满足方程x0x+y0y=r2.又过不重合的两点的直线唯一，所以x0x+y0y=r2即为点P0关于此圆的切点弦AB所在直线的方程.

例1 ［2003年硕士学位研究生入学资格考试（GCT）］

过点P（0，2）作圆x2+y2=1的切线PA、PB,A、B是两个切点，则A、B所在直线的方程为（ ）.

（3）略.

【略解】（1）如图1，由已知可设M（xM，-2p），显然点M在抛物线的外部，则点M关于该抛物线的切点弦所在直线方程为AB：

两式相减，整理得：（xA-xB）（xA+xB-2xM）=0.

又xA≠xB，所以xA+xB=2xM.故A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（2）所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.

（3）略.

评注：由雾里看花到水落石出，由遥不可及到快速接近目标.一些结论能帮助我们用“缩略式”思维方式思考问题，快速接近问题、解决问题，然后再回过头来补证这一结论.将一道难题变成跳一跳能够够得着的中档题，何乐而不为？

例3 ［2008年高考江西卷（理科）］

（1）略；

（2）求证：A、M、B三点共线.

【略解】（1）略.

（2）如图2，由已知可设P（m，y0），显然点P在双曲线的外部，则点P关于该双曲线的切点弦所在直线方程为AB：mx-y0y=1.

1.丁尔陞主编.中学数学百科全书·数学卷.北京：北京师范大学出版社.1994年12月第1版.P98.

2.人民教育出版社等编著.普通高中课程标准实验教科书.数学A版选修2-1.北京：人民教育出版社.2007年2月第2版.P75～P76.