流程图（程序框图）高考题型例解

☉湖北省水果湖高级中学 伍先军 赵 宇

在所有实施新课改的省份的高考数学试题中，都不约而同地出现了流程图（程序框图）.

图1是2011年全国新课标高考数学试题中的第5题：

执行图1所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）

A.120

B.720

C.1 440

D.5 040

编制流程图（程序框图）是利用计算机编程解决问题的关键性的一步.流程图就是用来描述解决问题的操作步骤的.它由功能图标和流程线组成.流程图的功能图标有4种：圆角矩形、平行四边形、矩形、菱形，分别表示不同的功能.流程线的一端带有箭头，表示程序运行的走向（见图2）.

解流程图（程序框图）题，不外乎有两种基本的解法：

①机械模拟，②模块归纳.

所谓“机械模拟”，是指我们按照流程线的走向，一步一步地忠实地模拟计算机操作，得到最终结果.一般适用于数据规模较小、功能单一的程序.

所谓“模块归纳”，是指我们把一个较大的复杂的程序，划分为一个或多个功能相对独立的较小的子模块，分析每个子模块的入口数据、出口数据，以及这个子模块对入口数据进行了怎样的操作从而得到出口数据的，这样，我们就归纳得出：这个子模块的实质，就是一个从输入数据到输出数据的映射关系，即函数，可抽象地记为：

输出变量（或中间变量）=f（输入变量1，输入变量2，…，输入变量n）.

图2

表1

若干个小的子模块再组成一个大的功能模块，最终，我们就能掌握整个程序的总体功能，再用数学的方式解决，写出程序运行结果.对于一些功能较复杂、数据规模较大的大中型程序，这种“模块归纳”的方式是比较合适的.进行模块归纳时，要特别注意某些变量的初值和终值（统称为端点）对输出变量（或中间变量）的影响，在归纳得出函数关系后，要返回到流程图中去进行端点校验.

解高考流程图题的根本方法：

【简单题】只需机械模拟即可.

【稍难题】先机械模拟理清算法实质，再模块归纳得出函数关系（或不等式），最后端点校验以确保正确.

【变式题】在掌握机械模拟和模块归纳两种方法后随机应变.

解流程图题四十字口诀（原创）：

铅笔作指针，箭头永向前.

表格当内存，旧值换新颜.

决策看条件，循环是关键.

输入和输出，函数来相连.

下面以2011年全国新课标高考数学试题第5题为例说明.

从流程图（见本文开头）的“开始”图标开始，顺着流程线走，从现在开始，我就变成一台计算机了！我用左手拿一支铅笔，笔尖指向当前即将执行的语句（相当于语句指针），右手拿一支笔，在表格中即时记录、修改变量的值.

左手铅笔指向“输入N”，现在我遇到了一个字母N，N是什么？N就是一个变量，我先在草稿纸上画一个表格，在表头写上变量的名字N（见表1），当做计算机存储空间中的一个存储单元，现在输入N的值是6，在N的下面写上6.

下一句：左手铅笔指向语句“k=1，p=1”，这本是两句，合在一起写了.现在遇到了两个新的变量k和p，把这两个变量的名称也写入到表格的表头中，现在本语句执行后它们的值都为1了，在它们的名称下都写下1.

继续！左手铅笔指向语句p=p·k.这是赋值语句，其中的“=”称为赋值号，完全不同于数学中的等号，它表示将“=”右边的表达式（可以是一个常量数据，或者是一个变量，也可以是一个表达式，本句是表达式p·k）的值（计算后），赋给“=”左边的变量.因此，“=”左边只能是变量，不能是常量或表达式.

那么，计算机是如何执行p=p·k的呢？先计算“=”右边的算术表达式p·k的值：从存储空间中读取变量p的当前值为1（读取操作不改变变量的值），读取变量k的当前值为1，在CPU（中央处理器）中计算1·1，结果为1，再将结果1写入（赋给）“=”左边的变量p所在的存储空间，现在p的值被改为1了（即使它原来的值就是1，计算机仍会执行写入操作，写入操作会改变变量的值）.此时，划掉此前的值1，写上新值1.

继续！左手铅笔指向决策图标：判断k＜N是否成立，计算机读取变量k的当前值为1，变量N的当前值为6，计算关系表达式1＜6的值，显然1＜6是成立的，计算的结果是真（用“是”、“真”或“True”等表示），程序此时转向“是”分支，执行k=k+1（左手铅笔指向此句）.同样，这也是一条赋值语句，先计算k+1的值：读取k的当前值为1，在CPU中计算1+1，结果为2，再将结果2写入到变量k，故k的值改为2了（划掉此前的值1）.

继续！再次执行p=p·k，读取p的值为1，k的值为2，计算1·2，得2，将结果2赋给（写入）变量p，即p的值改为2了（划掉此前的值1）.

继续！判断k＜N是否成立，计算机读取变量k的值为2，变量N的值为6，计算关系表达式2＜6，显然2＜6是成立的，计算的结果是真，程序继续执行“是”分支，执行k=k+1，先计算k+1的值：读取k的值为2，2+1得3，写入到变量k，故k的值改为3了（划掉此前的值2）.

如此继续执行，你会发现：赋值语句p=p·k，条件判断k＜N，赋值语句k=k+1，这3条语句被反复执行了多次，这种结构，在流程图中构成了“环形”，在计算机语言中称为“循环结构”.显然，这种循环结构必须要有结束退出的时候，否则，计算机就会陷入“死循环”，这是程序设计者必须注意的.

你可以不厌其烦地一步一步地模拟计算机执行下去，直到k=N，此时k＜N不成立了，就转向“否”分支，输出p的值为720.

那么，怎样提高解题效率呢？换言之，如果本题输入的N的值更大，你能较快地得出答案吗？

关键在于流程图中的“环形结构”，也就是循环结构.在循环结构中往往有两种功能的语句：“关键运算”和“条件控制”.所谓“关键运算”是指输出变量（本例为p）参与的运算，本例即p=p·k.所谓“条件控制”是指循环条件（本例即k＜N）中的变量（本例为k）参与的运算，本例即k=k+1.通过这两种功能的语句，你可以得出这段循环语句的功能就是连乘（注意变量p的初值必须为1，变量p常称为累乘器），乘数从k=1到k=N，每次增加1（这里的变量k常称为计数器），然后观察循环之前计数器的初值和循环结束时计数器的终值，重点分析计数器的初值和终值是否参与了关键运算（端点校验），最后得出结论：这段程序计算的是p=1*2*…*N（即N的阶乘N！），现在无论输入的N值是多少，你都可以迅速地用数学的方法计算结果了.这就是前述的“模块归纳”.