浅谈反函数的性质及应用

☉江苏省丹阳市第五中学 王金玲

☉江苏省丹阳市第五中学 王金玲

反函数是函数一章的重点，它的性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、图像的对称性等常被作为高考考查的重点，本文总结了反函数的几个常用性质，记住它们可以直接解决反函数的一些常见问题，从而避免复杂的运算，达到事半功倍的效果.

若函数y=（fx）（x∈A，y∈C）存在反函数y=f-（1x），则有下列性质：

①y=f-1（x）与y=f（x）的定义域与值域互换；

②y=f（x）⇔x=f-1（y）（x∈A，y∈C）；

③y=f-1（x）与y=f（x）的图像关于直线y=x对称（而不是y=f（x）与⇔x=f-1（y）的图像关于直线y=x对称）；

④函数y=f（x）（x∈A，y∈C）的图像关于直线y=x对称的充分必要条件是f-1（x）=f（x）；

⑤若函数y=f（x）（x∈A）为单调函数，则y=f-1（x）（x∈C）也是单调函数且单调性一致，即原函数与反函数在相应区间上具有相同的单调性；

⑥若函数y=f（x）（x∈A）为奇函数，则y=f-1（x）（x∈C）也是奇函数（注意偶函数是没有反函数的）；

⑦f-1［f（x）］=x（x∈A，A为定义域），f［f-1（x）］=x（x∈C，C为值域）；

⑧若y=f-1（x）与y=f（x）的图像有交点，则交点必在直线y=x上或交点关于直线y=x对称；

⑨若函数y=f（x）（x∈A）为增函数，则y=f（x）与其反函数的图像的交点必在直线y=x上；

⑩（a，b）在y=f（x）的图像上⇔（b，a）在y=f-1（x）的图像上.

例1（2007年高考天津）函数y=log2（x+4）（x＞0）的反函数是_________.

解：先求原函数的值域，它就是反函数的定义域，由x＞0得x+4＞4.

则y=log2（x+4）＞log24=2，原函数的值域是（2，+∞），它就是反函数的定义域，再由原式解出x=2y－4，反函数为f-1（x）=2x－4（x＞2）.

例2 （2008年高考重庆）设P（3，1）为二次函数f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）的图像与其反函数y=f-1（x）的图像的一个交点，则（ ）.

解：因P（3，1）在反函数图像上，由性质⑩得P′（1，3）在原函数图像上，又已知P（3，1）也在原函数图像上，将P（3，1）和P′（1，3）分别代入f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）中，得

故选C.

此解法避免了求反函数的繁琐过程，既灵活又简练.

解：y=f（x）的图像为双曲线，显然其对称中心为P（－a，1），则其反函数y=f-1（x）的图像的对称中心为P′（1，－a）.

又函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称，由性质④可知f（x）=f-1（x）.

则P与P′也重合，－a=1，即a=－1.

分析：由题意知，只需求出y=f-1（x+1），进而求出y=g（x），可求得g（5）的值.

结论错误，错在哪儿呢？ 我们知道y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，但y=f（x+1）与y=f-1（x+1）则不互为反函数，对这点一定要理解.

实际上，可以这样求：由y=f（x+1）两边用f作用得x+1=f-1（y）即x=f-1（y）-1.

故y=f（x+1）的反函数是y=f-1（x）-1.

（2）正是由于（1）的方法，我们可以给出本题的另一个更好的解法.由y=f-1（x+1）两边用f作用得x+1=f（y），则x=f（y）－1，故y=g（x）=f（x）-1.