数学教师承担什么样的角色——评讲试卷中的三个函数题

☉湖北省长阳二中 胡新生

教师在教育教学中的作用与地位是一个众说纷纭的话题.数学教师在教育教学中又应该承担什么角色呢？下面我给出一个教学案例让大家一起来分析.

函数抽象于生活实际，将为解决生活实际服务.函数是数学的重要思想方法，那么在学习中务必要重视函数的工具作用，增强函数意识，从而提高分析和解决问题的能力.于是在高三的一次月考后我对试卷中的三个函数问题作出如下引导.

师：同学们，本节课我们对本次月考中的三个函数问题进行继续探讨，希望同学们能从中领悟函数的工具作用.下面请同学们再分析填空题的第二题.

题 用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则其体积最大是______.

师：此题研究体积，那么从什么角度去考虑？

众生：体积的计算，长方体体积等于长乘宽乘高.

师：正确.解决应用题，建立数学模型是关键，此题原始的数学模型就是V长方体=长×宽×高，我们怎么去表达它？也就是怎么用数学符号描述？

师：非常好！，设变量描述此式，并且长、宽、高是相关的.不过，还需注意什么？

生：所设变量的范围.

师：很好，也就是函数的定义域.怎么得到函数的定义域？

某生：结合实际情况，长方体的各棱长都大于0.

师：好的！可以看出函数在我们的生活中，我们要懂得用变化的（函数）观念来看待事物

下面请同学们自行完成此题.

……等待大部分学生基本完成后.

师：下面请同学们分析填空题的第五题，注意读懂题意.

师：此题的含义是（翻译成我们通俗的语言）什么？

众生：集合A中有两个元素.

师：准确点就好啦.

某生甲：集合A中有两个正数.

沉默片刻.

师：是否需要求该方程的根？

某生丙：不需要，方程根的个数可以转化为曲线交点，数形结合可以求解.

师：很正确.如何转化？

师：函数图像便于分析么？

师：能否说说原因？等等，让其他同学思考一会儿.

师（微笑）：你说出了我要说的话，下面请同学们去绘出两个函数的图像，并分析结果，可以相互讨论.

估计一般的同学可以数形结合了之后.

师：刚才我们应该进一步认识到了方程与函数的关系，事实上方程的根就是相关函数图像交点的横坐标.下面请同学们分析解答题第21题的第二问，特别请同学们注意数学符号形式的引导，要能从现象透视本质.

师：回忆一下证明不等式的常用方法，并思考条件与结论是否有必然的联系.

众生：证明结论需利用函数的性质.

师：怎么去联系与利用？同学们可以相互讨论一下.

某生：可以将要证明的结论转化为f（a）-2a

利用g（x）在［0，1］的单调性，也就是证明g（a）

师：太好啦！可以看出不等式是函数的一个方面，并且在变形时还遵循了一个原则，这个原则是什么？

众生：“物以类聚”.

师：透过现象分析本质是我们要认真思考的.那么，同学们是否还有其他方式？试试看.

稍等后.

师：我们要解决的问题是否可以看做比较两个数的大小关系？

众生：哦……

某生：作差比较，也就是去判定f（a）-f（b）-2a+2b<0.

师：好的！同学们思考怎么判定？

一会儿后.

师：同学们别忘了函数哦！

某生：就是求函数的最大值.

师：求哪个函数的最大值？

某生：可以当做关于a的函数，即h（a）=f（a）-2a-f（b）+2b在a∈（b，1］时的最大值.

另一生：也可以当做关于b的函数，即h（b）=f（a）-2a-f（b）+2b在b∈［0，a）时的最大值.

师（微笑）：非常好，通过现象去分析本质是解决问题的又一个关键.它不仅仅用于数学解题.那么，剩下的请同学们自己完成，并认真思考通过这三个题你获得了什么.

……

反思练习1：设球的半径为时间t的函数R（t）.若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）.

A.成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为2c

师：请同学们把三个反思练习完成好.不过千万别忘了，函数抽象于生活实际以及方程、不等式与函数的真正联系；当然更要学会通过现象去联系、去分析、去挖掘事物的本质，以达到解决问题的效果.

一节课就这样结束了.作为数学教师究竟要承担什么角色是需要探讨的问题，也是一个长久的话题.最起码教师不能只是“教书匠”.