“不愤不启，不悱不发”——高中数学启发式教学的重新认识和思考

☉广东省信宜市信宜中学 林 生

高中数学新课程改革已在全国各个省市陆续推行.它颠覆继承传统，开拓创新未来，对数学教师和数学教学提出了前所未有的挑战.广大教师努力践行新的课程标准，把握新的课程理念并渗透应用于自己的日常教学.但面对新一轮基础教育课程改革，一些高中数学教师在实施启发式教学时出现了诸多课堂效率低下的问题.对此，笔者对这一“低效”现象的成因进行研究，并寻求克服这些现象的有效对策，以期提高课堂教学的整体效率.

1.高中数学启发式教学的教育理论和实质

我国著名教育家叶圣陶先生说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导.”如何诱导？他认为，一要提问，二要指点.而好的提问“必令学生运其才智，勤其练习，深刻领悟，追根究底.”要做到这一点，教师就要揣摩“何处为学生所不易领会，即于其处提出.”学习离不开启发诱导，启发提问在课堂教学中有举足轻重的作用.

所谓启发式教学，就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导办法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展.

我国古代大教育家孔子就很重视启发式教学.他曾论述：“不愤不启，不悱不发.”这里“愤”意为发愤学习，积极思考，然后想把知识表达出来；“发”意为开其意、指导；“悱”意为积极思考后要表达而表达不清，则要求老师予以答其词，使其清楚.对教师来讲，应该通过自己的外因作用，调动起学生的内因的积极性.就数学教学而言，启发式教学的实质是教师从学生已有的知识、经验和思维水平出发，通过创设富有启发式的情境以及思维点拨与方法指导，激活学生的思维，引导学生学会思考并逐步达成教学目标.能否在学生“最近发展区”内创设富有启发性的问题情境，使之与学生认知结构中的相关知识建立起自然、内在的逻辑联系，从而生成积极有效的数学探究活动是数学启发式教学成败的关键.数学是思维的科学，数学启发式教学更要学生思维的参与和情感的参与，通过主动建构和探索体验达到对数学问题本质的理解，从而最终提高学习的主动性和迁移能力.教师的主导作用就表现在本质的理解，从而最终落在这两个转化上（已知知识→学生具体知识→能力）.这里引导是转化的关键.所以高中数学需要启发，更需要有效启发！高中数学新课程倡导自主、合作、探究的多样化的学习方式，无论是发挥学生主体性还是启发学生思维，启发式教学都有了新的涵义和更高的要求，所以我们要透过看到启发性教学的本质，在启发教学过程中发挥自己的睿智.

2.高中数学启发式教学的“低效”成因

2.1 重外在情境，轻内在情境

《普通高中数学课程标准》在教学建议中要求教师创设适当的问题情境，鼓励学生发现事物的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.所谓问题情境，简言之，是一种具有一定困难，需要学生通过努力去克服（寻找达到目标的途径），而又力所能及的学习情境.只有把知识和情境有机结合起来，思维才会表现出高度集中，对学生才能有强大的吸引力.

但时下的数学课堂教学有过于追求问题情境生活化的倾向，而忽视数学的自身特点，不能从学生认知结构中已有的数学知识出发.精选的问题情境给人以外部强行嵌入之感，未能实现与新学习知识内容的自然整合，存在着重外在问题情境启发而轻内在问题情境启发的偏差，从而造成启发式教学的低效.事实上，并非每一个数学知识都要找到现实原型，在无合适的实际问题情境时，教师可以通过激发学生认知结构中与新学习内容有自然、内在逻辑联系的已有数学知识和观念，创设适当的问题情境来进行教学.

2.2 重思维结果，轻思维过程

从听懂一个知识、弄懂一道题来看，结果启发式效率较高.但是从学生学会学习、学会思维的角度来看，过程启发式更重要.学生一旦掌握了思考方法，就能举一反三，灵活地解决新问题，知识迁移能力也会增强.过程启发式教学能有针对性地对学生的思维过程和思考方法进行指导，能促进学生良好思维习惯的形成.

但在教学中有些教师往往对问题有一个预设的答案，启发的目的是让学生逐步逼近教师期待的结果，出现了重思维结果而轻思维过程的现象，从而造成教学效率低下.如此实施的“启发式教学”，学生得到的仅仅是“金子”，而不是点石成金的“指头”.下次出现同类问题时，学生往往又不知如何解答，不能举一反三.因此，教师在注重启发学生获得结果的同时，更要注重对学生的思维过程加以启发，使学生能体验和感悟到数学思维的精神，不断优化自己的思维方法.

2.3 重形式操作，轻独立尝试交流

在日常教学中，相当多的教师认为在数学教学中运用启发式教学就是由老师提出问题，学生回答，缺乏学生实际操作尝试.在数学教学过程中，常会看到一些数学老师自己提出问题，然后学生进行所谓的“实际实验”，从而进行所谓的“启发式教学”.

由于一些教师认识上存在偏差，启发式教学在实践中往往演化成简单的问答和交流，而且大多数问题和活动直接指向学生的认知活动，很少能够激活学生积极的思维活动，启发式教学呈现“形似神散、貌合神离”的状况.这种形式上的认知提问和操作会使学生被动地接受现成的设计，学生学习的主体地位没有充分体现出来，从而造成教学效果的低效.事实上，提问和操作只是启发式教学的一个外在表现形式，启发式教学的实质并不在于多问多做，而在于教师能否激活学生的情感和思维，使学生产生有意义学习的心向.

2.4 重课程进度，轻教学等待

在日常教学中，由于数学的课程比较紧，加上数学教学任务重，所以在教学过程中很多老师为了赶进度，加大课堂的容量和思维量，往往会忽略启发式教学中的等待，来不及等学生思考就匆匆忙忙把预先设计好的“答案”抛出来，进行这样的所谓启发式教学根本没有达到启发学生的目的.事实上，当我们要在教学中启发有效，就要恰当给学生时间思考问题，在思考问题中解决问题.

3.高中数学启发式教学“低效”的应对策略

3.1 创设情景，实现外在启发与内在启发的融合

亚里士多德曾说：“思维是从疑问和惊奇开始的.”因为疑问能使学生心理上感到茫然，产生认知冲突，促使学生去积极思考.疑是思维的开端，是创造的基础，是产生求知欲望和兴趣的源泉..在数学教学中，我们在课堂上要设计合理而巧妙的问题，善于利用问题设疑来鼓励和激发学生独立思考，积极探索，点燃其智慧的火花，从而培养学生学习数学的兴趣..培养学生的创造性思维能力是一个极其复杂和艰巨的工作，既要注意发挥教师的主导作用，更要充分调动学生的主动性、积极性.发挥主体的作用，是教学过程这种双边活动最科学、最完美的结合和表现.学生的积极主动的思维活动是教学过程成功的根本标志.但是这一思维活动过程的顺利实现，是以教师的合理地提问、科学地启发为前提条件的.因此，数学启发式教学对培养学生的思维乃至创造性和思维能力起到了重要作用.创设疑问，就是让学生产生好奇心和兴趣，激活学生的求知欲，激发学生进行自主探索、解决疑问的强烈欲望，以促使他们发现尚不了解的问题和规律.在大多数学生看来，数学讲究严密性和逻辑性，学数学是一件枯燥乏味的事，教师在教学中应该善于设疑，巧于设疑，通过设疑创设情景，让学生感到新奇有趣，进而随着老师设置的疑点，不断探索下去，自己找出答案来.《新课程标准》指出：数学教学要紧密联系学生生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境.毕竟学生学习的内部动力产生于学习需要.教学中，教师要从学生的“需要”出发去创设问题的情境、使其需要和愿望得以实现，使其认知兴趣得到激发.例如：我在讲解集合概念时，创设情景，恰到好处地用“起立与坐下”这一情景.过程为：“男同学请坐下”、“女同学请坐下”的指令.当学生愣神的时候，我又让同学们起立，然后“请高个子同学坐下”、“请矮个子同学坐下”的指令，这样的情景学生通过外在启发（起立和坐下动作）和内在启发（集合的确定性），突破了集合的概念确定性这一难点.

3.2 教师点拨启发与学生探索过程相结合

新课标的启发式教学，应该重视让学生自己通过独立思考，去分析和解决问题.其原因在于过去的教学常常违背启发式教学的精神实质，着重教师“教”、教师“灌”.这种越俎代庖的结果，助长了学生的学习依赖性，造成了教师未言学生不敢言、书本未讲学生不敢想的局面.总之，教师不教，学生就无法学.因而，进行启发式教学，培养学生的“独立精神”和学习能力，应该鼓励学生会自己解决问题.另一方面，由于教学内容必须有一定难度，加之学生知之不多，能力、智力发展还不如教师，学习中不可避免地会出现“障碍”，因而要求充分发挥教师的引导作用，善于点拨、相机点拨，以更有效地促进学生学会自己去解决问题.如在“用二分法求方程近似解”的教学中，我采取的是引导学生回顾方程的根与函数零点的对应关系，启发学会探索它对求方程根的启示，把求方程根的问题自然化归为求对应函数的零点，在进一步化归为寻求函数值为异号的两自变量构成的区间.这里，如何在已有区间内尽快找到零点成为问题的关键.当学生的思维进入疑难状态时，我不失时机引入竞猜商品价格问题和电路小元件问题，让学生解决实际问题，实现启发学生体验并利用游戏活动和小元件问题中的逼近思想，让学生领悟新学习的内容及其数学本质，在富有启发性的探索活动中自然而然地生成新知识.

3.3 设计独立尝试“启发点” 实现交流探索

启发式教学是要培养学生学会独立学习，这就要求教师要在教学中不失时机地引导学生对数学知识开展独立的尝试学习.当然，独立学习不是简单的“自由学习”，学生的“动”是以教师的“启”为前提的，教师在学生独立学习时要适当引导，能够为学生的学习活动指引方向，扫清障碍，避免“瞎子过河”.具体方法是：教师可以设计适当的“启发点”，启发学生进行初步的独立探索，为交流探索奠定基础.如进行“三角函数诱导公式”教学中，我做了如下设计：（1）圆有怎样的对称性？（2）你能利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系吗？（3）你能讨论一下这些角与角α的三角函数之间的关系吗？

显然，以上设计从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发，在学生思维的“最近发展区”内设计独立尝试的“启发点”，它具有适切性、联系性、思想性，可以直接引导学生交流探索，发现诱导公式，这样的启发是十分有效的.

3.4 挖掘应用拓展的“深化点”，实现过程启发与结果启发的协调

能力只能在过程中体现，单向思想交流的结果启发，势必影响启发式教学的效果.启发式的最高水平是：启而有发并且最终不需要启发，同时为学生提供一个再创造、再发展的机会，培养学生思维的灵活性和创造性.因此，教师要在吃透教材的基础上，启发学生去挖掘隐含于教材的“深化点——数学思想和方法.

例如：讲解高二数学必修5（人教版A版）“等差数列”中的例题：已知数学的通项公式为an=pn+q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项和公差是什么？在这个过程中我们一方面要启发学生掌握等差数列的判定方法，另外还要启发学生从其图像表示可以看出等差数列的几何意义，另外还可以启发学生从一次函数的两个基本量看出等差数列由a1=p+q和d=p所确定，这可谓一举三得.这就要求教师要利用数列教材内容的特点，启发学生挖掘出函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，最终实现过程启发和结果启发共同协调发展.通过以上案例可知实施“启发式教学”的最终目的也就是通过“过程式教学”使学生观察问题、分析问题的思维能力得以提高，而不是以让学生仅仅了解一些零散的知识为目的.数学教师固然要启发学生解决具体问题，但更重要的是逐步培养学生运用数学的思想、方法来观察问题、分析问题的思维能力，从而使学生能够举一反三，由“学会数学”到“会学数学”

3.5 做好必要、恰当的等待，提高启发和设问的实效性

要使启发式教学真正富有成效.教师在启发、设问时应留给学生一定的独立思考时间和空间，要做必要、恰当的等待.如果教师为了追求所谓的“高效”，加快教学进程，在学生尚未建立起与认知结构中有关知识的自然联系，未对自身的认知活动进行细致的审察时，就给出预设的思路或答案，学生的主体参与就会演化为虚假的被动配合.因此我们要在教学中做好做好必要、恰当的等待，提高启发和设问的实效性.

3.6 放下“师道尊严” ，提高启发式教学的有效性

发挥民主是贯彻启发式教学的重要保证.心理学家罗杰斯认为：一个人的创造力只有在让人感觉到“心理安全”和“心理自由”的环境下才能得到最大限度的表现和发展.因此在新课程下要培养学生的创新精神和创造能力，就要创设引导学生主动参与的宽松、民主、和谐的教学氛围；教师要有博大的胸怀，勇于接受学生的批评意见；要善于以参与者的身份与学生进行平等对话，允许学生提出不同的观点，甚至敢于向教师的观点提出挑战.新课程下的启发侧重于学习的过程，再加上现实的复杂性，这就更使得学生的讨论过程充满了不确定性.在讨论过程中，要对学生们的分析表示尊重，哪怕是分析问题的过程或结果都发生了错误，也要给予应有的鼓励.教师要放下“师道尊严”的架子，平心静气地看学生，真正成为促进学生认知发展的启迪者.

总之，在数学教学中，要运用现代优秀教学理论去指导启发式教学，在教学过程中要透过现象看清本质，在教学过程中不断发挥自己的教学睿智，从更深的层次上理解如何启发学生学习和解决问题的过程，把握学生进行有效学习的实质，帮助学生提高课堂学习效率，从而最终达到使学生学会学习和思维，更好地培养学生的综合素质.

1.程新展.高中数学有效教学的六个着力点.中国数学教育，2010.5.