运动时间为什么不可求？

丁广华

（武汉市洪山高级中学，湖北 武汉 430070）

图1

例题.如图1所示，光滑U型金属导轨PQMN水平固定在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导轨宽度为l.QM之间接有阻值为R的电阻，其余部分电阻不计.一质量为m，电阻为R的金属棒ab放在导轨上，给棒一个水平向右的初速度v0使之开始滑行，最后停在导轨上.由以上条件，在此过程中可求出的物理量有

（A）电阻R上产生的焦耳热.

（B）通过电阻R的总电荷量.

（C）ab棒运动的位移.

（D）ab棒的运动时间.

答案：（A）、（B）、（C）.

解析：棒由运动到静止，机械能转化为电能，再转化为内能；根据能量守恒知，电阻R上产生的焦耳热为Q＝，故选项（A）正确.

棒在运动过程中仅受安培力作用，F＝BIl，式中电流I随着速度的变化而变化，任一时刻棒的受力F∝I，故在整个运动过程中安培力对时间的平均值而通过电阻的电荷量以初速度方向为正方向，使用动量定理得，解得故选项（B）正确.

根据动量定理有－¯Ft＝0－mv0，联立各式解得x＝，故选项（C）正确.

疑问：“选项（D）”为什么不可求？其实在求解（B）、（C）选项的过程中都用到了时间t，只是在解的过程中消掉了，可这不是时间t不可求的理由吧？在金属棒的运动过程中，金属棒的运动学特征和力学特征量都是确定的，虽然是非匀变速的直线运动，但运动时间应该是唯一值，不可求的原因是目前高中知识所限？还是由于题干中的“以上条件”所限？如果缺少条件，那么究竟差了哪一个条件呢？

解得t→＋∞.

另外，由（2）式可知，v～t函数关系为v＝e－kt.v－t图像如图2所示.

点评：这是一道很常见的电磁感应练习题，综合性比较强，有一定难度，涉及到的知识点有：电磁感应、磁场对电流的作用、能量守恒、非匀变速的直线运动、动量定理、平均值概念等，常见于各种资料和模拟考试中.关于棒的运动时间经过以上分析可知，其“不可求的原因是因为时间趋于无穷”！至此也许会有学生产生新的疑问：运动时间趋于无穷，为何棒的位移可求，且为一有限值呢？其实二者并不矛盾，无限长时间的单方向的直线运动产生有限的位移是完全可能的，如图2，时间t趋于无穷，而v～t图像与横轴所围成的面积大小（表示位移）即为一定值；再比如等比数列求和：，项数无穷，而其和值为定值“1”，也是一样的道理.

图2