定积分在高三物理复习教学中的应用探微

刘益民

（江苏省宝应县中学 江苏 宝应 225800）

苏教版高中数学选修2－2教材新增加了定积分内容，其中讲到了曲边梯形的面积、变速运动路程、变力做功等问题，这为我们学好高中物理增添了一种新的数学方法，笔者也将定积分思想与方法渗透到高三物理复习教学过程中，做了一些尝试，以寻求高中数理新的结合点.

1 物理概念的渗透

高中物理教材中有不少物理概念要能真正掌握，不仅仅是字面上去理解，而且需要在概念的内涵与外延上挖掘，注意定积分思想的渗透.

例1.如图1所示，长为L、质量为m的均质杆在水平面内以恒定的角速度ω绕通过杆端的竖直轴O转动，试求杆的动能.

错解：由v＝ωr可知杆上各点速度与半径成正比，杆的中点速度v＝ωL／2.因此杆的动能为

图1

解析：杆的动能即杆各部分所有动能之和，因此将杆微元成无数份.设杆的线密度为η＝m／L，每一份杆的动能为杆的动能为

小结：本题学生分析错误的原因是因为杆不是质点问题，动能与速度平方成正比，不能简单用中点速度来代入，而通过本题动能定积分计算让学生体会到积分思想即累加，当然也需要先进行微元处理，写出对应的微分形式.

证明：设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i＝Imsinωt，因为时刻t瞬时功率P＝i2R＝I2mRsin2ωt，因为代入求得则1个周期内电阻R上产生的热量为代入上式得

小结：交流电的有效值是由电流热效应来定义的，而由于电流变化的原因，正常复习教学大多数教师仍然对学生强调仅正弦式才有但不解释，更不推导，因此学生仍然不甚理解，应用时容易出错.因此，对正弦式电流有效值的证明使用定积分这也是一种复习教学中有益尝试，毕竟学生已有定积分的基础，同时也可作出瞬时功率P－t图，如图2所示，由定积分思想可知图像面积即焦耳热，再由“割补法”可知，等效直流电的电流

图2

2 物理规律的拓展

在高三物理复习过程中，有些物理规律仅定性或半定量地给出相关规律，而没有定量给出计算公式，如典型的平方反比规律延伸出的势能、电势等概念，这在实际解题过程如果适时利用定积分补充一点，这些规律就会浅显易懂、我们就会应用自如.

例3.试推导第二宇宙速度v2≈11.2km／s.

解析：取r为积分变量，r∈［R，＋∞）取任一小区间［r，r＋dr］.这微小过程中万有引力做功则当将物体由地面移到无穷远处过程中万有引力做的总功为

要使物体恰好脱离地球引力的束缚，在这过程中，由动能定理得即第二宇宙速度

小结：此题同时延伸得到了引力势能的公式Ep＝教师也可进一步拓展得到点电荷电势能的公式这将让学生对黑洞问题、点电荷能量等问题不再抽象.

例4.如图3所示，真空中有4点A、B、C、D共线等距，只在A点放一电荷量为＋Q的点电荷时，B点的场强为E，B、C两点的电势分别为8V、4V.若再将等量异号电荷－Q放在D点，则

图3

（C）BC线段中点电势为零.

（D）B、C两点的电势分别为4V和－4V.

解析：根据场强叠加原理，B点电场由两电荷共同产生，易得场强大小为5E／4，方向水平向右，即（B）对；而由已知正电荷在B、C两点产生的电势分别为8V、4V，则等量负电荷在在B、C两点产生的电势分别为－4V、－8V，因此最终同时放置两电荷时B、C两点的电势分别为4V和－4V，（D）对；又由于对称性BC线段中点电势为零，（C）对.

拓展：点电荷电势公式及电势叠加原理，如图4所示，取r为积分变量，再取一小区间［r，r＋dr］，可视为匀强电场，则在一小区间存在的电势差以无穷远处为0电势点，则P点的电势即为P点与无穷远电势差为

图4

小结：本题涉及到电势叠加问题，如果不引入点电荷电势公式，需要引入试探电荷，通过做功方法比较高低以及确定电势多少，这种方法繁而难懂，而由匀强电场U＝Ed出发，在一般电场中使用定积分物理意义清晰，分析简捷，不失为一个电势难题的好方法.

3 物理思维方法的升华

图像法是高中物理思维方法中的重要方法之一，而物理图像中面积的物理意义通常都是需要关注的，图像的面积从数学角度来讲就是一种定积分，因此通过定积分来看图、甚至于作图就是一种全新的思维方法.

例5.如图5所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子（不计重力），当两板间加上如图6所示的交变电压后，电子始终未打到板，则电子不可能做往返运动的电压是

图5

图6

解析：速度－时间图像法：可作出4个选项大致的速度－时间图像如图7所示，进而非常容易地判断出电子是否在做往返运动.（A）、（B）、（D）选项中的电压变化规律虽不同，但都是在1个周期内先加速再减速，然后反向加速，最后再反向减速即1个周期内又回到原出发点，做往返运动.而（C）选项的1周期内，前内做变加速运动，后内做同向的变减速运动，速度变为0，然后又继续向前，不会做往返运动，故（C）选项正确.

图7

拓展：定积分法 对于运动某一时刻的速度的获得是由于电压作用引起的，因此有而即电压 －时间图像下所围成的面积.因此只有（C）选项中图像面积始终非负值，即不是往返运动.

发散1：若已知两平行金属板M、N相距为d，在板间加一正弦交流电如上题（C）选项所示.在t＝0时刻，质量为m、电荷量为e的电子由板中央释放，经过半个周期，恰好到达A板，求此时电子的速度大小？

简析1：半个周期中，

发散2：若已知两平行金属板 M、N相距为d，在板间加电压如上题（D）选项所示，求经过个周期T时电子速度大小？

简析2：由图像得u＝－U0＋kt，其中加速度经过个周期T时，解得即线性变化可取算术平均值.

发散3：若已知两平行金属板M、N相距为d，在板间加电压如上题（A）选项所示，求离开出发点最大的距离？

简析3：因为位移即速度－时间图像.下图线所围成的面积，因此本问就需要作出对应的速度－时间图像.由电压图像可知电子运动的加速度规律为由于t＝0，v＝0，则C＝0.电子运动的速度规律为，如图8所示.电子离开出发点的最大距离，即前半周期图像面积.

图8

小结：在交变电压作用下带电粒子的运动分析常规方法即做速度－时间图像，但本题为一选择题，作图较费时而且较难，因为需要严格控制好图线的斜率，（A）选项速度－时间图像为一正弦函数，（D）选项速度时间图像应为两段抛物线相连.而使用全新的积分法只需要观察图像的面积累加的正负情况就行.由题目所发散的3个问题更是解决了变加速直线运动难题，值得学生思考与总结.

当然，定积分在高中物理中的应用有它的局限性，一是江苏从2010年开始高考数学考试中定积分不再做要求，二是在数理结合时学生关键还不能够熟练写出所求量的微元，无法建立合理的数学定积分模型.但是在高三物理复习教学中开展定积分的教学，是将重要数学方法在中学阶段的有机地渗透，它必将加大学生的思维力度，拓展学生的思维空间，也为他日进入高校学习做好方法上的准备.当然，在实际教学中要注意在讲授定积分时不应过多的注重数学上的推理与论证，应该突出应用定积分的物理思想，同时让学生积极参与进来，自主地使用定积分进行应用分析，逐步内化成学生自身的一种解题方法.