相角裕度和幅值裕度的一种估算方法

刘美侠，孙延永

(宿迁学院机电工程系，江苏 宿迁 223800)

控制系统的稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题。在实际系统中，动态稳定性不仅必须保证，而且还要有一定的稳定裕度，以防参数变化的影响。根据奈氏判据:对于最小相位系统，稳定的充要条件是开环幅相频率特性曲线TGH包围(-1，j0)点的圈数为0。当开环幅相频率特性曲线TGH穿过(-1，j0)点，闭环系统临界稳定。因此，在稳定研究中称(-1，j0)点为临界点，而闭合曲线TGH相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反应系统的相对稳定性。频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度 γ 和幅值裕度 h 来度量[1，2]。

本文的例题可以说明，笔者用于估算相位精度和幅值精度方法简便，且有较好的精度。经过大量系统验证了该方法是可行的，并在工程分析与设计中也能获得满意的结果。

1 系统的开环频率特性

设系统的开环传递函数为

式中，s是复变量;K为开环增益;τi和Tj为时间常数;v为开环系统s平面坐标原点上的极点的重数。

把式(1)中的s用jω代替就得系统开环特性:

2 相角裕度γ

2.1 直接利用定义求解

设ωc为系统的截止频率，有

由式(5)可解出 ωc，代入式(4)可求得 φ(ωc)，代入式(6)求得相角裕度γ。但是由于要解反三角函数方程，因此当系统阶次较高时ωc很难求出，这正是此方法的局限所在。在工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕度，我们一般先根据对数幅频特性渐近曲线确定截止频率ωc，即取ωc满足L(ωc)=0，再由相频特性确定相角裕度γ。

2.2 估算求法

幅频特性渐近曲线对系统在ωc处幅频值有影响的环节包括比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节和振荡环节等。近似计算在ωc处的系统幅值仅包括这些环节，且略去各环节的常数项1，这就是估算求法。

[例1]:求系统的开环传递函数为G(s)H(s)=5/s(s+1)(0.1s+1)的相角裕度和幅值裕度。

解:其开环频率特性为

G(jω)H(jω)=5/jω(jω +1)(0.1jω +1)

幅频特性为

相频特性为

转折频率为ω1=1和ω2=10。在0≤ω＜1时，有 A(ω)≈5/ω。要使 A(ω)=1，则有 ω =5，这会与0≤ω＜1矛盾，因此ωc不会在0到1之间;而在1≤ω ＜10 时，有A(ω)≈5/ω2，要使A(ω)=1，则有 ω =，在1≤ω ＜10区间，显然截止频率;在 ω≥10 时，A(ω)≈5/(0.1ω2)，要使 A(ω)=1，则有 ω＜10，与 ω≥10矛盾。故截止频率代入式(9)得γ=12o，可见它与实际γ=13.6o值很接近。

从例1可知估算求法只涉及到代数方程的求解问题，因此当系统阶次较高时要明显优于直接利用定义的方法。

3 幅值裕度h

设ωg为系统的穿越频率，则系统在ωg处的相角为 φ(ωg)=-180o，定义幅值裕度 h=1/A(ωg)，幅值裕度的h含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。故可根据劳斯判据来确定开环增益临界稳定K，从而求出h。由式(3)和式(4)可知变化开环增益K，相频特性不变，但幅频特性不同。所以ωg与开环增益无关，即不管K是多少，ωg是不变的。故可以在临界稳定时用上述估算求法求出ωg。

设上例中开环增益K1时系统临界稳定，开环传递函数:

我们由劳斯判据得系统临界稳定的充要条件是:1.1=0.1K1，所以系统临界稳定时 K1=11，所以据K1=5×h，求出幅值裕度h=22。对于下面两式应有相同的穿越频率ωg:

要使幅频特性满足

于是，在0≤ω＜1时，有A(ω)≈11/ω。如果要使A(ω)=1，则得 ω =11，与0≤ω ＜1矛盾，故 ωg不会在0 到1 之间;在1≤ω ＜10，A(ω)≈11/ω2，如果要使A(ω)=1，则得 ω =3.31，在1≤ω ＜10 区间，故 ωg=3.31。将其代入式(9)后可得 φ(ω)≈181.4o，与定义φ(ωg)=180o很接近，证明其符合工程计算要求。

[1]胡寿松.自动控制原理[M].北京:国防工业出版社，1994

[2]绪方胜彦著.卢伯英等译.现代控制工程(中译本)[M].北京:科学出版社，1978.