关于全耦合的一道习题的讨论

于歆杰，许 军，朱桂萍

(1 清华大学电机工程与应用电子技术系，北京 100084)

(2 华北电力大学电气与电子工程学院，北京 102206)

耦合是“电路原理”课程的重要概念，涉及到耦合的知识点包括互感的定义和性质、耦合系数、互感电压、同名端(包括定义和测量)、互感的去耦等效、空心变压器、全耦合变压器和理想变压器等概念。

对于自感分别为L1和L2的两个电感来说，如果它们之间存在全耦合关系，则其耦合系数为1，于是有[1-6]

对于两个全耦合的线圈来说，如果分别将它们的同名端连接起来，对外则可以构成一个二端网络，如图1所示，即为一道习题的电路。

图1 一道关于全耦合的习题

试证明:当L1≠L2时，该二端网络对外等效为短路;当L1=L2=L时，该二端网络对外等效为值为L的电感。

这是一个乍一看起来很特别的习题。证明起来并不太困难，但是怎么理解“除某个特殊情况下该二端网络对外等效为短路”这个结论却比较费劲。下面我们从四个角度分别对该题进行分析和讨论。

1 从耦合电感的去耦等效出发

如果进行去耦等效，则图1所示电路可等效变换为图2所示电路。

图2 图1电路的去耦等效电路

容易看出，这种方法将问题的求解转化为等效电路中二端网络入端电感的分析，比较简洁。本法可训练学生关于去耦等效和元件串并联的知识点，但是物理意义并不明显。

2 全耦合变压器的伏安关系出发

图1所示电路相当于将一个全耦合变压器的原副边并联连接起来。在拉氏域中，利用全耦合变压器的端口关系可知

式中，n=N1/N2为变比，N1和N2分别为变压器原、副边匝数，I1(s)和I2(s)分别为图1中i1和i2的象函数，U1(s)和U2(s)分别为图1中与i1和i2关联的原副边电压的象函数。由于原副边并联，因此有

式中，U(s)为图1中u的象函数。

根据式(4)和式(6)可知，如果N1≠N2(n≠1)，即L1≠L2，则只有当U1(s)=U2(s)=U(s)=0时式(4)和式(6)才能成立。此时对应着端口对外表现为短路，即无电感。

若L1=L2=L，则n=1，式(4)自然满足。由式(5)和式(6)可得

其中，I(s)为图1中i的象函数。这意味着有

本方法利用全耦合变压器的端口特性，推导容易，还利用了匝数关系，但物理意义依然不甚明了。

3 从耦合电感等效为流控电源出发

众所周知，互感电压可用流控电压源进行等效。基于这个观点，可以将图1所示电路改画为图3所示的等效电路(复频域形式)。

图3 图1电路的流控电压源等效电路

图3中根据KVL可知

将其代入式(9)可得U(s)=0，即对外表现为短路，无互感效应。

若L1=L2=L，式(9)右侧两部分恒等，即KVL自然满足。由式(9)可知

上式表明，对外等效为电感L。

这种方法在分析式(10)的时候可以明确区分L1≠L2和 L1=L2=L两种情况，而且综合利用了KCL和KVL，是从电路角度出发比较完整的解法。

4 从磁路和互感的定义出发

如果要想从更基本的角度来考虑这个问题，就需要回到磁路和互感的定义。为了便于分析起见，不妨假设图1所示的两个线圈是环形线圈，如图4所示[1]。图中实线为原边线圈，虚线为副边线圈。容易验证，二者绕线方式决定的同名端关系满足图1要求。

图4 图1电路的理想磁路

进一步假设线圈产生的磁场强度在线圈包含的空间中均匀分布，而且不泄漏到线圈以外的空间中(全耦合)，两个线圈的尺寸完全一样，磁场通路中均为线性介质，圆环截面积为S，磁路长度为l。则圆环中的磁通为

其中，μ0和μr为真空磁导率和介质相对磁导率。

图4中感应电动势e1和e2的参考方向是根据电磁感应定律确定的。为突出主要矛盾，在式(13)中设sμ0μr=l。则根据电磁感应定律，有

将上式代入式(14)可知u=0，即对外表现为短路，无电感效应。

如果N1=N2，式(14)右侧两个部分恒等，即KVL自然满足。由式(14)可知

由上式可见，它对外等效为电感L。

虽然第4种方法比较繁难，但对本题能够提供较好的物理解释。在条件N1≠N2下，将式(16)与式(13)相结合可知

即磁路中磁通变化率为0。这意味着，如果两个线圈匝数不相等，即使线圈中流过变化的电流。为了确保KVL成立，磁路中磁通变化率也必须为0，自然也就不会产生感应电压，因此从线圈两端来看没有电感效应。关于磁通变化率为0还可以从另一个角度进行解释:由于穿过每匝线圈的磁通都是相同的，因此磁通变化时在每匝线圈上感应出的电压也是一样的。如果线圈匝数不同，则两个线圈的端电压会不同。但是端口并联的边界条件又迫使两个线圈端电压相同，因此必然使得磁通变化率为0。

另一方面，对于条件N1=N2，此时互感的值等于自感。整个网络可以看作两个等值电感串联后再与另外两个等值串联的电感并联，因此对外等效为电感L。或者从另一个角度来理解，该网络可以看作用两倍线径、相同匝数绕制的电感。在理想情况下，其电感值与线径无关，仅由匝数决定。

下面我们来讨论一个看起来更特殊的问题:将两根导线以相同匝数并联绕制成一个线圈(这对应着前面讨论的N1=N2情况)，将其用于正弦交流稳态下。某个时刻，由于外界情况使得某根导线的绕制情况发生了些许变化(比如发生匝间短路)，这时会发生怎样的情况?

由于整个二端网络工作于正弦交流稳态下，因此其中的磁通也是正弦交流稳态变化的。在发生绕制情况变化的瞬间，其磁通具有某个数值。此后，由于两个线圈的匝数不同，端口电压相同，迫使磁通一直保持该数值，但变化率为0，对外表现出短路。

这里又揭示出一个可能的应用，即储能。假设欧姆损耗可忽略，我们可以用两根导线并绕的方式制成一个线圈，并通以交流电。在适当的时候(比如磁通最大)，人为控制某根线圈的匝数发生改变(比如用开关器件使得某两匝间发生短路)，则磁场能量就被存储于该磁路中。在需要使用的时候，可以恢复变化的匝数(比如该开关断开)，整个二端网络对外表现为一个电感，可以释放能量。

相对于直接利用线圈进行储能来说，该方法不需要用开关切换整个线圈即可完成储能装置的投入和切除。或者采用另一种方法，制造两个不同电感值、全耦合的线圈，先在正弦电路中接入一个电感，磁路中就会产生时变磁通。在某个时刻，投入另外一个电感，此后总磁通将保持在电路切换瞬间的值不变。这种方法比制造两个电感值完全一致的全耦合电感容易一些。

5 结语

通过前面的讨论可以发现，对于本文所示一道习题来说，从四个不同的角度均可求解。各种方法难易程度不同，所能揭示的物理本质也不同。从不同角度求解本题可有助于加深学生和教师对去耦等效、全耦合变压器、变压器等效电路、磁路和互感定义的理解。这一点无疑会提高“电路”课程的教学质量。

[1]于歆杰，朱桂萍，陆文娟.电路原理[M].北京:清华大学出版社，2007

[2]周守昌.电路原理(第2版)[M].北京:高等教育出版社，2004

[3]江缉光，刘秀成.电路原理(第2版)[M].北京:清华大学出版社，2007

[4]邱关源，罗先觉.电路(第6版)[M].北京:高等教育出版社，2006

[5]陈洪亮，张峰，田社平.电路基础[M].北京:高等教育出版社，2007

[6]孙雨耕，电路基础理论[M].北京:高等教育出版社，2011