无功功率教学新探

田社平，张 峰，陈洪亮

(上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240)

0 引言

正弦稳态电路的功率是正弦稳态“电路理论”或“电路分析”课程教学中的重要内容。在正弦稳态电路的分析中，涉及的功率概念多，包括瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率、表观功率和复功率等。在教学中，应讲清楚各种功率的概念及其相互关系，以及它们的分析与计算方法。笔者在教学过程中，发现作为一组对应的功率概念，有功功率和无功功率在数学定义和物理含义的讲授上存在逻辑不一致的地方。对有功功率，其数学定义就是平均功率的定义，即正弦瞬时功率的平均值，其物理含义指电路实际消耗的功率，也即电路中电阻元件消耗的功率。对无功功率，其数学定义则不是来源于某个量(如某个功率量)的平均值，而是基于被分析电路与外电路之间的能量往返交换的现象，将反映能量交换规模的电压、电流的有效值以及功率因数角的正弦值三者之积定义为无功功率，因此无功功率的大小反映了外电路(电源)参与能量往返的程度[1～3]。

现行教科书上关于无功功率的定义与解释确有其合理之处，但对于初次学习正弦稳态功率的学生而言，上述问题疑惑颇多。本文试图提出一种无功功率的教学方法，使无功功率的定义、物理解释与有功功率保持逻辑上的一致，同时也使无功功率与其它功率概念的联系变得清晰明确。

1 利用旋转相量定义无功功率

对于如图1所示正弦稳态一端口电路，设其端口电压和端口电流分别为

图2 电流i(t)的旋转相量在复平面上的投影

式中，p(t)称为瞬时有功功率分量，q(t)称为瞬时无功功率分量。对式(5)两边一个周期内(T=2π/ω)取平均值，有

上式是一个非常有趣的结果。我们可以由式(6)来引出无功功率的定义:对图1所示的电路，定义一个旋转电流相量，进一步由式(5)定义一个复数瞬时功率，对式(5)在一个周期内取平均值即可定义出有功功率和无功功率这两个概念。

通过式(6)定义无功功率，不仅使得有功功率和无功功率的数学定义在逻辑上得到统一，即两者都定义为某一功率量(瞬时有功功率分量或瞬时无功功率分量)的平均值。而且式(6)的物理意义也能得到非常合理的解释:瞬时电流的有功分量iP(t)是旋转电流相量在复平面实轴上的投影，它与瞬时电压(类似地，可以认为其为瞬时电压的有功分量)相乘得到的功率应看作有功功率的时域表达式;瞬时电流的无功分量iQ(t)是旋转电流相量在复平面虚轴上的投影，它与瞬时电压正交，因此它与瞬时电压相乘得到的功率应看作无功功率的时域表达式。

2 电路元件的无功功率

上面讨论了正弦稳态一端口电路的无功功率的定义。在教学实践中，一般从电路元件吸收功能的情况来引出无功功率的概念。这里讨论本文的教学方法在电路元件无功功率教学中的应用。不失一般性，假设元件两端的电压为

对于电阻元件则有

对于电容元件则有

可以看出，采用本文的定义方法，所得到的电路元件无功功率的大小和符号与现行教材完全一致。

3 讨论

本文给出了一种基于旋转相量的无功功率教学方法。该方法于有如下优势。

(1)无功功率的定义在形式上与有功功率统一。这种统一体现在:①在复平面，在时域，定义了瞬时有功分量和瞬时无功分量两个对应的功能，它们分别对应瞬时(电流)量在复平面实轴和虚轴上的投影;②无功功率为瞬时无功分量在一个周期内的平均值，与有功功率为瞬时有功分量在一个周期内的平均值相对应;③复数瞬时功率的定义与复功率对应，复功率为复数瞬时功率在一个周期内的平均值。

(2)本文提出的新教学方法与现行无功功率的教学内容没有冲突。从物理意义而言，有功功率刻画了耗能元件(电阻)消耗功率的平均值，无功功率则刻画了储能元件(电容或电感)吸收功率的平均值;有功功率是消耗掉的功率，而无功功率则是与外电路交换的功率。

(3)现行无功功率的教学内容强调储能元件与外电路的能量交换，忽视了功率的概念，其根本原因在于没有将无功功率与某个瞬时功率量(也是一个波动的量)的平均值对应起来。而本文提出的教学方法建立了瞬时无功功率分量的概念，其平均值即为无功功率，这样可以强调无功功率的“功率”含义。

[1]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陈希有.电路理论基础[M].北京:高等教育出版社.2004

[3]于歆杰，朱桂萍，陆文娟.电路原理[M].北京:清华大学出版社.2007