关于“抽象函数定义域”的讨论

王君月

【摘要】求函数定义域中最难的是求抽象函数的定义域，关键是要让学生明白原理.其中最重要的是掌握整体替换的原则.本文从具体函数入手，层层递进，详细讲解了求抽象函数定义域的原理和具体做法.

【关键词】整体;替换;定义域オ

在高中数学新课程中，函数是非常重要的内容，也是高中数学中的基本概念，函数的思想方法贯穿整个高中数学课程.在高一时，主要学习了函数的概念及简单性质.函数的概念中关于定义域的求法是重要的考查内容，其中“抽象函数”的定义域求法课本并没有介绍，需要老师以专题的形式传授.因为是抽象函数，所以如何设计教学过程，让学生更形象地认识并理解是要解决的首要问题.对此，结合自己多年的教学经验，谈谈自己的想法和建议，供大家参考.

一、引 导

首先让学生做这样两个例题：

例1 已知函数f(x)=x,求函数y=f(2x+1)的定义域.

解 由题意可知

f(2x+1)=2x+1,要使函数有意义，必须满足

2x+1≥0,即x≥-1[]2.

∴函数y=f(2x+1)的定义域为xx≥-1[]2

.

例2 已知函数f(x)=1[]x，求函数y=f(x+1)的定义域.

解 由题意可知

f(x+1)=1[]x+1,ヒ使函数有意义，必须满足

x+1≠0,即x≠-1.

所以函数y=f(x+1)的定义域为{x|x≠-1}.

引导学生观察以上两个例题，f(ax+b)就是以ax+b取代x，

当x做分母时ax+b也要做分母，两者位置一样，所以范围也要一样.因此知道了函数y=f(x)的定义域也就知道了ax+b的范围，解不等式求出x的范围就是所求的定义域.

二、新 授

例3 已知函数y=f(x)的定义域是［-2，3］，求函数﹜=猣(2x+1)的定义域.

解 ∵函数f(x)的定义域是［-2，3］，

∴-2≤2x+1≤3,

-3[]2≤x≤1.

函数y=f(2x+1)的定义域是-3[]2,1.

例4 已知函数f(2x+1)的定义域为-3[]2,1，求函数f(x)的定义域.

分析 和例3的道理一样，括号中的2x+1和x地位一样所以范围也一样，而定义域永远指的是自变量的取值范围.

解 由题意知-3[]2≤x≤1,

∴-3≤2x≤2.

即-2≤2x+1≤3.

∴函数f(x)的定义域为［-2,3］.

例5 【拓展练习】已知函数f(2x+1)的定义域为［1,3］，求函数f(3x-2)的定义域.

解 由题意知函数f(2x+1)中1≤x≤3,

则3≤2x+1≤7.ァ吆数f(3x-2)中3≤3x-2≤7，

即5[]3≤x≤3,ァ嗪数f(3x-2)的定义域为5[]3,3.

三、小 结

求抽象函数的定义域最关键的是要理解两点：

1.函数f(ax+b)和f(cx+d)中的x不是同一个,而゛x+猙和cx+d的范围是一致的.

2.函数的定义域是自变量的取值范围.