(2+1)-维Burgers方程的精确周期波解

夏良娟

1.前 言

寻求非线性发展方程的精确解在有关非线性方程的研究中占着重要的地位，人们已经发现了许多有效的方法，如獼acobi椭圆函数展开法［1］、Backlund变换法［2］、齐次平衡法［3~5］等.本文将根据齐次平衡原则,并利用F-展开法［6,7］,在F-展开法中添加了F的负幂项,这里F是Riccati方程的解，用这种方法求出了（2+1）-维Burgers方程［8］的精确周期波解：(u璽+uu瓁-u﹛x)瓁+u﹜y=0.（1）

2.獸-展开法

考虑如下形式的非线性发展方程：

P(u,u璽,u瓁,u瓂,u﹖t,u﹖x,u﹜t,u﹛x,u﹜y,…)=0.（2）

作变换u(x,y,t)=u(ξ),ξ=kx+ly-ωt+ξ0.（3）

其中k,l,ω为待定常数，k≠0,ξ0为任意常数.

将（3）代入（2）得到玂DE：

P(u,-ωu′,ku′,lu′,ω2u″,-ωku″,-lωu″，k2u″,l2u″,…)=0.（4）

设u(ξ)可表示为F(ξ)的有限幂级数：

u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ).（5）

其中a-N,…,a璑为待定常数，且a璑≠0，F(ξ)满足玆iccati方程：F′=P+F2.（6）

其中P是常数，正整数N可由（4）中最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡［9,10］来确定.将（5）代入方程（4）并利用玆iccati方程（6），可将方程（4）左边化为F(ξ)的多项式.令F(ξ)的各次幂项的系数为零，得到关于a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的代数方程组，借助玀athematic和吴文俊消元法，解上述方程组，可得参数a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的值（由P，Q，R表示），将上述结果代入（5）便得到方程（2）的一般形式的行波解.

玆iccati方程（6）有如下解：

（1）当P>0时，F(ξ)=±P玹anh(Pξ+c)；F(ξ)=±P玞oth(Pξ+猚).（7）

(2)当P<0时，F(ξ)=±-P玹anh(-Pξ+c)；〧(ξ)=±-P玞oth(-Pξ+c).（8）

（3）当P=0时，F(ξ)=1[]ξ+c.（9）

3.（2+1）-维獴urgers方程的精确周期波解

将（3）式代入方程（1）得：

(l2-kω)u″+k2(u′)2+k2uu″-k3u=0.

所以，l2[]k3-ω[]ku″+1[]k(u′)2+1[]kuu″-u=0.（10）

令l2[]k3-ω[]k=a,1[]k=b，代入（10），得

au″+b(u′)2+buu″-u=0.（11）

故设：u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ)=a-1狥-1+a0+a1F.（12）

F′=P+F2.（13）

其中a-1,a0,a1为待定常数，将（12）代入（11）并反复利用（13），则（11）的左边化为F(ξ)的多项式，令系数为零，得一代数方程组,解得：

a0=-a[]b,a-1=0,a1=2[]b.（14）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=0.（15）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=2[]b.（16）

显然，最后一组解是前两组解的叠加.

将式（14）,（15）,（16）分别代入式（12），得方程（1）的三个行波解的浓缩公式：

u(ξ)=-a[]b+2[]bF(ξ).（17）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b.（18）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b+2[]bF(ξ).（19）

其中ξ=kx+ly-ωt+ξ0，a=l2[]k3-ω[]k，b=1[]k.

利用玆iccati方程的解（7）~（9）可从浓缩公式（17）~（19）中解出精确解：

①P>0，将式（7）分别代入（17）~（19）可得周期波解：

u11=-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c)；u21=-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c);

u12(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b；

u22(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b；

u13(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c);

u23(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c).

②P<0，将式（8）分别代入（17）~（19）可得周期波解：

u31=-a[]b±2[]b-P玹anh(-Pξ+c)；

u41=-a[]b±2[]b-P玞oth(-Pξ+c)；

u32(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b；

u42(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b；

u33(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P•玹anh(-Pξ+c)；

u43(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P•┆玞oth(-Pξ+猚).

③P=0，将式（9）分别代入（17）~（19）可得周期波解：

u51=-a[]b+2[]b(ξ+c);u52=-2p[]b(ξ+c)-a[]b;

u53=-2P[]b(ξ+c)-a[]b+2[]b(ξ+c).