点到直线距离公式的几种证明方法

包新安

【摘要】点到直线的距离公式是大家都熟悉的而且是非常重要的公式，结合多年来教学的实际总结，给出几种证明方法，各个方法有其优点供我们学习和采纳.选择不同的方法，对于学生的思维能力、探究能力、计算能力、推理能力、叙述表达能力、创新能力等都起到了很好的训练作用，同时对于培养学生的学习兴趣起到了良好的作用，学生感受到不同方法的特点，唤起了进一步探究问题的好奇心和强烈的求知欲望.

【关键词】距离公式；证明方法；学习兴趣オ

提起点到直线的距离公式，这是大家都非常熟悉的一个公式，然而要给出一个较好的证明方法，则未必是大家都熟悉的问题.在教材的变化与改革过程中不同时期各个版本的教材都给出了不同的证明方法，那是因为教材知识序列的先后顺序不同，编者就选择了不同的证明方法.笔者在多年来的教学实践中根据需要选择相应的方法，对于学生的思维能力、探究能力、计算能力、推理能力、叙述表达能力、创新能力等都起到了很好的训练作用，同时对于培养学生的学习兴趣起到了良好的作用，学生感受到不同方法的特点，唤起了进一步探究问题的好奇心和强烈的求知欲望.就下列几种常用方法加以整理，愿给学生一点小小的启发与帮助.

在平面直角坐标系下，已知点P（x0,y0)，直线l:Ax+〣y+狢=0，求证：P点到直线l的距离ヾ=獆Ax0+By0+C|[]A2+B2.

证明1（解析法） 令经过P(x0,y0)且垂直于l:Ax+〣y+狢=0的直线为l′:B(x-x0)-A(y-y0)=0，垂足为〩(x,獃)，ビ

Ax+By+C=0,

B(x-x0)-A(y-y0)=0

軦x+By+C=0,

Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.

由A2x+ABy+AC=0,

B2x-ABy-B2x0+ABy0=0

莳(A2+B2)x=B2x0-ABy0-AC.

又由ABx+B2y+BC=0,

ABx-A2y-ABx0+A2y0=0

莳(A2+B2)y=〢2y0-狝Bx0-BC.

所以HB2x0-ABy0-AC[]A2+B2，A2y0-ABx0-BC[]A2+B2，求得

|PH|2=B2x0-ABy0-AC[]A2+B2-x02+A2y0-ABx0-BC[]A2+B2-y02

=A2(By0+Ax0+C)2[](A2+B2)2+B2(Ax0+By0+C)2[](A2+B2)2

=(Ax0+By0+C)2[]A2+B2.

得到点P到直线l的距离d=﹟PH|=獆Ax0+By0+C|[]A2+B2.

评述 解析法的优点是证明思路简单，想法学生容易理解和接受，但是对学生的计算能力要求较高（普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修２）北京师范大学出版社教材中只给出了计算程序……），特别是字母运算的能力.正是利用这一点可以加强对学生运算能力的锻炼，是一个极好的机会，使学生感受到计算能力的重要性，对现行初中阶段由于大量使用计算器削弱了学生这方面能力是个很好的补充练习.

证明2（几何法） 过P(x0,y0)作x轴的平行线，交直线l于点R(x1,y0)，作y轴的平行线，交直线l于点S(x0,y2)，ビ

Ax1+By0+C=0,

Ax0+By2+C=0

輝1=-By0-C[]A,y2=-Ax0-C[]B.

所以|PR|=|x0-x1|=Ax0+By0+C[]A

，|PS|=|y0-y2|=Ax0+By0+C[]B.

|RS|=PR2+PS2=A2+B2[]|AB||Ax0+By0+C|，ビ扇角形面积关系可得

d•|RS|=|PR|•|PS|載=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

评述 几何法的优点是借助几何直观，较大地减少了计算量.通过直角三角形的面积关系建立点到直线距离和三边的关系，尤其是直角三角形的直角边和坐标轴平行或重合，使得计算容易，作为学生阅读是个好方法，也能使得学生体会到数和形的结合对化解数学问题能起到良好的作用.假如让学生自己去想未必能发现这样一个方法.

证明3（配凑法） 令经过P(x0,y0)且垂直于l:Ax+〣y+狢=0的直线为l′:B(x-x0)-A(y-y0)=0，垂足为〩(x,y).ビ

Ax+By+C=0,

B(x-x0)-A(y-y0)=0

A(x-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-C,①

B(x-x0)-A(y-y0)=0.②

ビ散侏2+②2莳

(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］=(-Ax0-〣y0-狢)2莳

(x-x0)2+(y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2莳(x-x0)2+(y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2

莳d=|PH|=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

评述 证法３实际上是一种代数方法，本人简单地称之为配凑法.这是一个奇妙的证明方法，一般教材都没有这种方法，这是笔者在优化解析法（证法１）的时候发现并加以整理出来的，就是改进了证法１中求垂足的坐标，只是设垂足但是并不需要求出来，即设而不求的思路，然后通过整体解出(x-x0)2+（y-y0)2=(-Ax0-By0-C)2[]A2+B2，达到了证明的目的，学生感觉有一种非常奇妙的体会.

证明4（向量法） 可以取直线l:Ax+By+C=0的方向向量为v=(B,-A)，即其法向量是n=(A,B)，设M(x,y)是直线l上的任意一点，㏄M=（x-x0,y-y0)，㏄M在n上的射影是n•㏄M猍]|n|=A(x-x0)+B(y-y0)[]A2+B2=-Ax0-By0-C[]A2+B2.

所以d=n•㏄M猍]|n|=|Ax0+By0+C|[]A2+B2.

评述 用向量的工具解决一些疑难问题往往是事半功倍，对于点到直线的距离公式的证明自然也不例外，显然是这几种方法里面比较理想的一种，思路简洁，计算量小.但是由于教材知识序列的问题，有时候往往把它作为向量的应用列举，假如把向量的学习放到解析几何前面，就为证明铺好了路子，当然还需要学生熟练地掌握有关向量的知识和方法.

总之，对于点到直线的距离公式的证明，本人把常用的方法加以小结，根据我们的教学实际可以合理选择应用，不妥之处敬请指教.

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［1］全日制普通高级中学教科书.《数学》第二册（上）.北京：人民教育出版社.

［2］普通高中课程标准实验教科书.《数学》（必修２）.北京：北京师范大学出版社.