复射影空间上的几何

武明明 武三星

【摘要】通过流形的方法研究n维复射影空间这样一个复杂而又特殊的高维空间上的几何性质，构造出复射影空间的坐标系，对其赋予獸ubini瞫tudy度量，得到全纯截面曲率为4.

【关键词】复射影空间；獸ubini瞫tudy度量；全纯截面曲率；流形

一、复射影空间的构造

设C﹏+1中的点表示为z=(z1,…,z﹏+1），C﹏+1-{0}=А萵+1[]i=1U璱，其中U璱={z∈C﹏+1-{0}|z琲≠0}.

设~为C﹏+1-{0}上的一个等价关系z~w讵靓恕蔆,λ≠0，使得z=λw.用［z］={w∈C﹏+1-{0}|w~z}表示z的等价类.对于任一个子集〢吉狢﹏+1-{0},用［A］=А葄∈AВ踷］表示

A中元素等价类的集合.以C﹏+1-{0}/~表示等价类的集合.自然射影π(z)=［z］是连续映射.称拓扑空间C﹏+1-{0}/~是C﹏+1-{0}关于等价类~的商拓扑空间.此商空间即为n维复射影空间CP琻.

因此，CP琻=C﹏+1-{0}/~={［z］|z∈C﹏+1-{0}}，其中

［z］={w∈C﹏+1-{0}|w=λz,λ∈C,λ≠0}可看作为C﹏+1中过原点的复直线.可见，复射影空间CP琻为复空间C﹏+1中过原点的复直线的集合,而且CP琻是一个n维复流形.确定CP琻的坐标图{(Uα,吉α）}.令Uα={z∈C﹏+1-{0}|zα≠0}，α=1,…,n+1，则（ⅰ）Uα糃﹏+1-{0}且为开集；（ⅱ）А萵+1[]α=1Uα=C﹏+1-{0}.令Uα=π(Uα)={［z］|z∈C﹏+1-{0},zα≠0}，α=1,…,n+1，则根据商拓扑定义知，ィá。︰α糃P琻且为开集；（ⅱ）А萵+1[]α=1Uα=CP琻.

对于校踷］∈Uα,zα≠0,α=1,…,n+1有吉α(［z］)=z1[]zα，…，z│-1猍]zα,z│+1猍]zα,…,z﹏+1猍]zα

.可以证明映射吉α:Uα→C琻是完全确定的、连续的、单的和满的，即为双射.置αζ琸=z琸[]zα，1≤猭≤n+1，k≠α,则吉αz1,…,z﹏+1

=(αζ琸)﹌≠α,笑=1,…，n+1，由同胚的定义知映射吉α:Uα→C琻是同胚映射.在Uα∩Uβ≠Вα≠β上，映射

吉α:Uα∩Uβ→吉α(Uα∩Uβ)糃琻,吉β:Uα∩Uβ→吉β(Uα∩Uβ)糃琻均为同胚映射.

校踷］∈Uα∩Uβ，zα≠0,zβ≠0,有吉α(［z］)=(αζ琸)﹌≠α，吉β(［z］)=(βζγ)│谩佴陋，于是转移函数为

βζγ=αζγ[]αζβ,γ≠α,γ≠β,

1[]αζβ,γ=α,

由氮βζγ[]氮αζ琸=0知它是全纯函数.

于是，复射影空间CP琻是一个n维复流形.(z1,…，z﹏+1)称为CP琻的齐次坐标，(αζγ)│谩佴联称为CP琻的非齐次坐标.

二、复射影空间的度量

利用CP琻的齐次坐标zα，经过计算得到g整体上的表达式：

g=(z,z)(玠珃,玠珃)-(玠珃,z)(z,玠珃)[](z,z)2.

其中(,)表示酉积.g为CP琻上的一个黎曼度量，而且为獺ermite度量，通常称该度量为Fubini瞫tudy度量.

取CP琻的非齐次坐标为z1,…,z琻，那么CP琻的獸ubini瞫tudy度量可记为g=2g﹊﹋玠珃琲n的獸ubini瞫tudy度量g是獽ahler度量，此度量下的CP琻是獽ahler流形.

三、复射影空间关于獸ubini瞫tudy度量的全纯截面曲率

对于任意一点p∈M，若平截面π糡璸M关于J是不变的，即Jπ=π，则π称为全纯截面.此时，截面曲率K(π)称为π的全纯截面曲率，记为H(π).

CP琻的獸ubini瞫tudy度量记为g= 由于g是獽ahler度量，根据獽ahler度量的定义有：对于CP琻切空间上的任意切向量X,Y满足[XCS0.TIF;%105%105,JZ]璛JY=J[XCS0.TIF;%105%105,JZ]璛Y.

以上六种情况分别计算出了黎曼联络系数.

根据求出的联络系数，不为零的曲率张量分量只有四种： 对于CP琻切空间上的任意单位切向量X，以{X,JX}为幺正交基的截面，π为全纯截面，且

j取1到n的任意整数，不是求和，则有g(X,X)=1,g(X,JX)=0,那么，以{X,JX}为幺正交基的全纯截面π的界面曲率为：

H(π)=R(X,JX,X,JX)

=g(X,R(X,JX)JX)

于是，复射影空间CP琻在獸ubini瞫tudy度量g下的全纯截面曲率为4.

像常曲率黎曼空间CP琻这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,通过与它进行诸如曲率等几何量的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质.

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