数学解题中如何有效培养观察能力

尚永杰

心理学认为：观察是一种为感知特定对象而组织的有目的、有计划，必要时需要采用一定方法的高水平的感知觉过程.数学观察能力就是有目的、有计划、有选择地对各种数学材料概括的知觉过程.数学解题中通过观察，往往会引起不仅是“知其然”，而且“知其所以然”的结果，正如“看”仅仅是感觉，“看到”是知觉，而有目的、有计划、有步骤地进行“看”才是观察.所以，观察是发展数学思维的良好方法与前提，培养和提高学生数学解题观察能力是教学的重要任务之一.

数学解题中如何去培养观察能力？

1.观察式子特征

例1 求函数y=x3-3x(x>0)的最小值.

观察函数式的特征，式中既有x3，又有3x,容易联想不等式

a3+b3+c3≥3abc（a,b,c∈R+），于是

y=x3-3x=x3+1+1-3x×1×1-2≥-2(x=1时，取“=”号)，故y的最小值为-2.

灵活应用公式、概念进行简单处理，常能出奇制胜，发展思维能力.

2.观察数量关系

例2 已知三角形三边分别为2，3，7，求此三角形的最大角是多少度.

若用常规思维去理解，要用余弦定理，算起来颇有点费事，若能观察一下特征，因22+(3)2=(7)2，可立即求得最大角为90°.

例3 求﹍im玿→0玸in(玸in玿)+玸in2x[]玹an玿-3玜rcsin2x的值.

初看似乎无从下手，若能定下心来好好地思考一下，问题便迎刃而解，如果能想到用等价无穷小替换求极限，问题就很简单了.

由于玸in(玸in玿)～x,玹an玿～x,-3玜rcsin2x～-6x,且

﹍im玿→0玸in(玸in玿)[]玸in2x=1[]2≠-1，┆玪im獂→0x[]-6x=-1[]6≠-1，

由此可得﹍im玿→0玸in(玸in玿)+玸in2x[]玹an玿-3玜rcsin2x=﹍im玿→0x+2x[]x-3(2x)=-3[]5.

总之，数学概念的形成，命题的发现，解题方法的探求都离不开观察，对于教师而言，应把观察能力的训练落实到教材的每一章节中，让学生恰当运用观察，对培养学生能力、提高学习效果均有重大意义.

3.观察数式结构

例4 已知m2-2m-4=0,n2-2n-4=0,m≠n,求n[]m+m[]n=?

分别求出m,n，再求n[]m+m[]n的值，虽然能算出结果，但不是好办法，若对其条件的形式结构进行观察，易知m,n是方程x2-2x-4=0的两根，从而可用韦达定理求得结果.这样使一个很复杂的问题简单化，这就是观察的效果.以上两例借助于对数式结构的观察，产生联想，从而得到问题的解.

4.立足整体全面观察

例5 已知玞osα玞osβ=1[]2,玸inα玸inβ=m,求m的取值范围.

观察分析一：∵玞osα玞osβ-玸inα玸inβ=1[]2-m,ァ嗒玞os(α+β)=1[]2-m，∴-1≤1[]2-m≤1,

∴-1[]2≤m≤3[]2.①

观察分析二：∵玞osα玞osβ+玸inα玸inβ=1[]2+m,ァ嗒玞os(α-β)=1[]2+m.

∴-1≤1[]2+m≤1,ァ-3[]2≤m≤1[]2.②

以上两种究竟哪个正确呢？其实它们顾此失彼，各都注意到了问题的一个方面，而忽视了另一方面.

观察分析三：

∵m2=玸in2α玸in2β不失一般性

=(1-玞os2α)(1-玞os2β)=1-(玞os2α+玞os2β)+玞os2α玞os2β

=1+1[]4-(玞os2α+玞os2β)ぁ1+1[]4-2玞osα玞osβ(玞osα=玞osβ时取“=”号)

=1[]4，∴-1[]2≤m≤1[]2.

从整体入手多方面观察，有利于克服以上出现的毛病.

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例6 方程(x-1)2+y2=|x-y-1|表示的曲线是().

獳.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条直线

如果不注意深入观察,易错选獴.其实,只要观察到点(1，0)在直线x-y-1=0上,就能发现曲线不满足双曲线的定义,正确答案为獶.忽视隐含条件,忽视概念、定理、公式的前提条件,使解题产生严重的错误.

从以上能力的培养中不难发现，培养能力的前提条件是拥有雄厚扎实的基础知识，没有雄厚扎实的基础知识，就更谈不上能力的培养了，知识的更替就是“观察→应用→再观察”的过程，学好数学我们不光是为了做题而做题，要做到触类旁通，举一反三，达到事半功倍的效果，这就要求我们在观察能力上下工夫，这样才能把知识学活学精，学好数学不妨培养这方面的能力实在必要.

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［1］田万海.数学教育.杭州：浙江教育出版社，1993.

［2］周钦锋.中学数学教学.杭州：浙江教育出版社，1998.

［3］刘学平.解题教学中观察能力.北京：人民教育出版社，1998.