谈化归思想在大学数学教学中的渗透

潘建丹

【摘要】数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见化归思想方法的渗透和应用.谈谈大学数学课程教学中常见的化归思想.

【关键词】化归方法；大学数学；数学教学法

一、化归思想的含义与意义

数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科.辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化着.因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学化归.

简单地说，数学化归就是在解决数学问题的过程中，将解决或难解决的问题，通过某种转化归结为一类已解决或比较容易解决的问题，最终求得原数学问题的解答.美国著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“解题过程就是不断变更题目的过程.”所以，化归如同“翻译”，从不同的特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来.因此，在大学数学教学过程中突出数学化归思想对提高教学质量，实现数学素质教育，优化学生的认知结构具有重要的作用.

二、大学数学课程教学中常见的化归思想

1.将化归思想引入未定式型极限的运算教学

已知∞[]∞,0[]0型未定式可直接用洛必达法则求极限.但对于∞-∞,0•∞，1∞，00，∞0型特殊未定式极限的运算中，由于类型多，且没有直接的求极限方法，从而使得这部分知识成为教学的难点.但将化归思想引入到此部分内容的教学中，能够使极限的运算方法更加简单明了.

化归过程如下图所示：

例1 求┆玪im獂→0+玸in玿┆玸in玿.

解 这是一个00型的未定式，先将其化归成0•∞型的未定式，再化归成∞[]∞型的未定式.

（若化归成0[]0型未定式也可以，但会使后面的计算└丛樱┆

设y=玸in玿┆玸in玿，两端取对数，则玪n珁=玸in玿•玪n玸in玿.

因为，当x→0+时，玸in玿•玪nsin玿为0•∞型的未定式，

利用无穷小与无穷大的倒数关系，得：オ玸in玿•玪nsin玿=玪nsin玿[]1[]玸in玿=玪nsin玿[]玞sc玿.

﹍im玿→0+玸in玿•玪nsin玿=﹍im玿→0+玪nsin玿[]玞sc玿=﹍im玿→0+玞os玿[]玸in玿[]-玞os玿[]玸in2玿=﹍im玿→0+-玸in玿=0.

所以，﹍im玿→0+玸in玿┆玸in玿=﹍im玿→0+e┆玸in玿•玪nsin玿=e0=1.

2.将化归思想引入二重积分化累次积分的教学

计算二重积分是多元函数微积分部分的重点和难点.显然，依定义计算二重积分并非易事.下面以求“玐—型”区域D上的曲顶柱体的体积为例，说明如何将二重积分转化为累次积分.

设函数f(x,y)>0，它在“玐—型”区域：D={（x,y）|φ1(x)≤﹜≤φ2(x),a≤x≤b}上连续，则К氇璂f(x,y)玠σ表示以曲面z=ゝ(x,獃)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.我们用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算这个曲顶柱体的体积.

（1）计算截面面积

在区间［a,b］上任取点x0，作平面x=x0，截曲顶柱体得一截面：以区间［φ1(x0),φ2(x0)］为底边，以曲线z=f(x0,y)为曲顶的曲边梯形(如图所示的阴影部分).该截面的面积为：

A(x0)=А要│摘2(x0)│摘1(x0)f(x0,y)玠珁.

故过区间［a,b］上任一点x且平行于面yOz的平面，截曲顶柱体所得的截面面积为：

A（x)=А要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁.

（2）根据“平行截面面积为已知的立体体积”的方法得所求曲顶柱体体积

所求体积为：V=А要琤璦A(x)玠玿=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

（3）根据二重积分的几何意义，曲顶柱体体积就是二重积分的值

К氇璂f(x,y)玠σ=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

类似地,若D为“玒—型”区域：D={(x,y)|ψ1(y)≤﹛≤ψ2(y),c≤y≤d}，

可得К氇璂f(x,y)玠σ=А要琩璫И玠珁А要│转2(y)│转1(y)f(x,y)玠玿.

由此可见，在此部分教学中，利用二重积分的几何意义，将求二重积分的代数问题转化为求空间直角坐标系中曲顶柱体体积的几何问题，然后，把曲顶柱体（三维）看作平行截面（二维）面积为已知的立体.从而通过计算已知平行截面面积的立体的体积把二重积分化为累次积分.如此，既能使二重积分的问题得以顺利解决，又能在教学过程中，让学生感受到数与形的转化产生的化归魅力、三维向二维转化产生的化归力量.

3.将化归思想引入求幂级数的和函数教学

求幂级数的和函数最常用的方法是逐项求导与逐项积分法，此方法就是在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分形成一个已知或易求和函数的级数，然后求和，最后再反过来求一次积分或微分，便可得到原级数的和函数.其实，这是一种化归思想.

我们常见的最简单的函数项级数是几何级数.例如，А啤轠]n=0x琻.

当|x|≥1时，А啤轠]n=0x琻发散；当|x|<1时，А啤轠]n=0x琻收敛，且其和函数为：s(x)=1[]1-x.

对于一致收敛的幂级数求和函数，我们都可以利用逐项求导或逐项积分等方法，将其转化成几何级数求和函数，最后再利用合理的方法，实现问题求解.

例2 求级数А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1在收敛区间(-1,1)内的和函数.

解 设h(x)=x•А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1，s(x)=x•h(x)，则逐项求导得：

h′(x)=А啤轠]n=0(-1)﹏獂2n=А啤轠]n=0(-x2)琻=1[]1+x2,x∈(-1,1).

对上式积分得：h(x)-h(0)=А要瑇0h′(t)玠玹=А要瑇01[]1+t2玠玹=玜rctan玿.

因为h(0)=0，因而得h(x)=玜rctan玿，s(x)=x•玜rctan玿.

即x玜rctan玿=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1，x∈(-1,1)为所求.

当然根据幂级数的不同特征，我们还可以利用裂项相消法、代数方程法、有限递推法、构造微分方程法、柯西方法、差分算子求和法、微分算子求和法等方法求得幂级数的和函数.这些方法处处都渗透着化归思想.在教学过程中完整地向学生呈现将复杂问题转化为简单问题的化归思想，有利于优化学生的认知、提高学生的数学素质.

三、结 语

通过以上的论述可知，化归思想体现在高等数学教材的各个方面，在平时的数学教学中，我们既要注意挖掘，在传授知识的同时渗透数学化归思想和方法，揭示知识内在联系，掌握知识的内在结构，又要注重把握学生现有的认知结构，从教材的呈现程序方面促进化归.引导学生变换角度思考、分析、解决问题，带领学生集思广益，共同探求同一问题的不同解法和引申，激励学生创造性地解决问题，培养学生思维的灵活性和广阔性，促进学生求异思维和创造性思维的发展.

但是化归思想的应用离不开其他思想方法的有机配合.数学的各种思想方法之间总是相互依存、相互渗透的，没有哪一种思想方法是万能的，也没有一种思想能够孤立存在.此外，化归思想是一种解决问题的思想和方法，而不是发现问题的方法，这是化归思想本身的局限性.

【参考文献】オ

［1］严忠，刘之行，杨爱琴.高等数学［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2010.

［2］喻平.数学问题化归理论与方法［M］.桂林：广西师范大学出版社，1999.

［3］周学勤.探讨洛必达法则求极限［J］.濮阳职业技术学院学报，2010（4）：143-144.

［4］陈志华，杨继明.化归思想在幂级数求和中的应用［J］.玉溪师范学院学报，2007（8）:78-82.