刍议新课标高考中函数最值的求法

王杰士

函数最值问题是中学数学的重要内容之一.它一直是新课标高考的一个重要的热点问题，在新课标高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就该问题的常用解法，分类浅析，以供参考.

一、定义法

例1 设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：

①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；

②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)

③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值.

这些命题中，真命题的个数是（）.

獳.0B.1C.2D.3

解析 根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故①错误.②、③正确：实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件.故选獵.

点评 利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确加以应用.需要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如函数f(x)=1[]x的值域为(－∞,0)∪(0,+∞)，但它没有最大值，也没有最小值.

二、函数单调性法

例2 设a>1，函数f(x)=玪og玜x在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为1[]2，则

a=.

分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值.

解析 ∵a>1，

∴函数f(x)=玪og玜x在区间［a,2a］上是增函数，

∴函数在区间［a,2a］上的最大值与最小值分别为玪og璦2a,玪og璦a=1.

又 ∵它们的差为1[]2，∴玪og璦2=1[]2，a=4.故填4.

点评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了，以下的问题就容易了.一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间［m,n］上的最值：若函数f(x)在［m,n］上单调递增，则f(x)┆玬in=f(m)，f(x)﹎ax=f(n)；若函数f(x)在［m,n］上单调递减，则f(x)﹎in=f(n)，f(x)﹎ax=f(m)；若函数f(x)在［m,n］上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理.

三、导数法

例3 函数f(x)=x3－3x+1在闭区间［－3,0］上的最大值、最小值分别是.

分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值.

解析 ∵f′(x)=3x2-3，∴令f′(x)=0，得x=－1.

又 f(－3)=－17，f(－1)=3，f(0)=1，

比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.

故填3,－17.

点评 （1）利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a,b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值ゝ(a)，f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值.（2）函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点.

四、换元法

例4 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是.

分析 由条件a2+2b2=6的形式知，可利用三角换元法求a+b的值.

解析 ∵a,b∈R，a2+2b2=6，∴令a=6玞osα，2b=6玸inα，α∈R.

∴a+b=6玞osα+3玸inα=3玸in(α+φ).

∴a+b的最小值是－3.故填－3.

点评 在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值范围.如本题换元后中间变量α∈R，这由条件a,b∈R可得到.

五、数形结合法

例5 对a,b∈R，记玬ax珅a,b|=a，a≥b，

b，a

分析 本题实质上是一个分段函数的最值问题.先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解.

解析 由|x+1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x－2)2，ァ鄕≥1[]2,

∴f(x)=|x+1|，x≥1[]2，

|x－2|，x<1[]2.

其图像如图所示.

由图形易知，当x=1[]2时，函数有最小值，

∴f(x)┆玬in=f1[]2=1[]2+1=3[]2.故填3[]2.

点评 用数形结合的方法求解最值问题，其关键是发现问题条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观解决问题.如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解最值的方法去解.

以上给出的是求解函数最值问题时常用的基本方法，只要我们在复习中仔细研读，把握要点，经常运用，就一定能够熟练掌握这些方法，并将它们灵活用于解决函数的最值问题之中.