数学学习需要追求思维的真实

丁裕

人教版四年级下册“三角形”这一单元中的“三角形的三边关系”是新课程新增加的一个内容。在这些年的教学中，经常听到老师们反映，看似简单的三边关系其实并不容易教。学生虽然最后能得出三角形“任意两边之和大于第三边”的结论，通过教学也能认识到“两边之和小于第三边”是围不成三角形的，但是对于“两边之和等于第三边”也是围不成三角形的，却不容易理解。关于这一点的教学，已然成了新课程教学的一大疑难。

因此，平时有很多老师在研究这节课，包括很多著名特级教师也对这节课进行过公开授课。不过回顾这些课的教学，虽然各自不尽相同，甚至有的富有特色、十分精巧，但是关于“两边之和等于第三边”是围不成三角形的这一结论的教学过程或方法，往往离不开先提供材料让学生动手操作、然后观察讨论、得出结论这样的一种模式，就这一点的教学效果也不见得很理想。笔者在2009学年就曾经亲身实践过。

教学片段一：

（组织学生用一些小棒围三角形，有的围成了，有的没有围成，并且在老师引导下先将明显围不成三角形的情况即“两边之和小于第三边”进行反馈、展示完毕并形成结论。）

师：那么3厘米、5厘米和2厘米这三根小棒能不能围成三角形呢？

（部分学生喊能围成的，也有部分学生喊围不成的。然后教师指名回答。）

生1：不能围成。因为2厘米加上3厘米等于5厘米了。

生2：能围成。老师你来看，我们已经围成了。

师：你们到投影仪上来展示给大家看看。

（该组学生派了个代表上来围，结果好像围了一个看上去扁扁的三角形。此时很多学生不由跟着说：“是能围成的啊。”也有个别低声地说：“应该是不能围成的。”）

师：你们这样围其实小棒的端点是没有相连的，只是因为小棒比较粗，看上去好像是围成三角形了。我们一起来看课件演示。

（在那些认为能围成三角形的同学似懂非懂、还皱着眉头的时候，教师开始进行课件演示：将5厘米置于底部，两端接上2厘米和3厘米小棒各自的一端，然后将2厘米和3厘米这两条线段慢慢往下压，直至它们的端点相连接并且此时三条线段重叠。）

师：你们看，当这三条线段端点全接上时，就重合了。所以当两条边之和等于第三边时是围不成三角形的。

师：那么你们看3厘米、5厘米和8厘米能不能围成三角形呢？

生（部分）：也是围不成的。

（但此时，刚才认为能围成三角形的同学还有些不服气，嘀咕道：“可是我们是真围成了呀，这明明就是三角形啊！”）

师：好了，有问题我们课后还可以接着讨论。下面我们来看看3厘、米5厘米和4厘米这三根小棒能不能围成三角形……

相信上过或者听过这节课的老师对上面这样的课堂场景一定不会感到陌生。我们能够清晰地感受到，在教师这样的教学组织与引导下，那些亲手将“两根小棒长度之和等于第三根小棒”的一组小棒围成了“三角形”的学生，直到老师课件演示完毕甚至整节课结束后，他们还认为自己的观点是对的，对老师的讲解还是充满疑问。

其实，我们应该能理解那部分坚持己见的学生。首先根据人的认知特点，各种感官里触觉和视觉是最为灵敏和强烈的，特别是眼睛看到的事物令人印象深刻。尽管我们知道“两边之和等于第三边”的三根小棒围成了一个“三角形”是一种“视觉的假象”，但这却是学生通过亲手操作，然后亲眼看见三根小棒好像是围成三角形了。真所谓“眼见为实”“事实胜于雄辩”，他们此时是无论如何也不会再动用思维来推理、思考其中的逻辑关系了。其次，课堂上老师所说的小棒是有粗细的，和线段相比并不完全一样，存在着一些误差，这种理解对孩子来说其实非常困难。因为数学与生活之间存在着很大的距离，学生理解的数学上的线段，其实都是依附于生活中的实际物体上的，他并不认为小棒和线段有什么区别。因此，这种抽象与具体的关系此时让学生去理解、去接受也是很不现实的。

那么，我们老师到底该怎么办呢？难道就让学生处于这种“视觉的假象”之中吗？难道就没有可以有效突破这一难点的办法或者手段了吗？答案显然是否定的。前不久的一堂教研课上，笔者就听到了一个与前面案例很不一样的、别出心裁的处理办法，效果也明显与前一个案例不一样。

教学片段二：

（教师先引导学生得出所有三角形“任意两边之和大于第三边”这样的猜想，然后组织学生在大量三角形中进行验证。接下来安排一组练习，判断下面哪一组线段是可以围成三角形的：①3厘米、5厘米和7厘米；②3厘米、5厘米和10厘米；③3厘米、5厘米和8厘米。第一组让学生说理后想象、打手势比划围成的三角形，第二组也让学生说理并动手围一围来验证。）

师：第三组线段能不能围成三角形呢？

（有了前面的学习和已知结论，绝大部分学生都说围不成。）

师：为什么呢？你是怎么想的？

生1:因为3厘米加5厘米等于8厘米了，三角形中任意两边之和是要大于第三边的。

师：同学们想象一下，这样的三条边围起来会成什么样呢？

（此时部分学生在皱眉想象，部分学生举着手跃跃欲试。然后教师指名回答）

生2：会重合的，合在一起了。

师：真是这样吗？跟着课件我们一起来想象一下吧。

（教师开始进行课件演示：将5厘米置于底部，两端接上2厘米和3厘米各自其中的一端，然后将2厘米和3厘米这两条线段慢慢往中间下压，并边压边说：“我们让这两个端点接上，你们看慢慢接近了、接近了……”一直压到马上要重合了才停下来。）

师：如果我们再往下压，当两个端点接上时，你们觉得这三条边会怎样了？

生（齐声）：重合在一起了！

师：是的，所以当两边之和等于第三边时，也是围不成三角形的，三角形的任意两边之和必定是大于第三边的。

在这个教学片段中，教师干脆放弃了组织学生开展动手操作活动，取而代之的是让学生进行想象与推理。仔细推敲这样的教学设计，其实非常合理。许多数学知识确实需要组织学生动手操作来验证，增强学生的体验，从而使学生更好地学习、理解数学知识。不过，让学生进行想象和推理又何尝不是一种深刻的体验活动呢？在关于“两边之和等于第三边是围不成三角形的”这一结论的教学上，为什么我们难以引导学生很好地理解？很重要的一个原因是我们组织学生进行动手操作，人为地使学生陷入了那种“视觉的假象”之中。像案例二中，如果我们一开始就让学生利用原有的认知（学生已经验证所有三角形的任意两边之和大于第三边，而且动手验证了两边之和小于第三边是围不成三角形的）来推理，思考3厘米、5厘米和8厘米的线段是围不成三角形的，并通过课件演示帮助学生很好地想象了围的最后结果，这样就是引导学生去进行数学的思考，置学生于“思维的真实”之中，教学疑难自然也得到了很好的突破。

我们说数学是“思维的体操”，只有善于让学生运用思维才是我们进行数学教学和学生学习数学的价值所在。新课程确实提出了“动手操作”是学生学习数学的一种有效方式，但是我们数学课上绝不能让操作成为随意开展的一种“惯习”。盲目地开展动手操作活动，很可能会像案例一那样使学生陷入“视觉的假象”之中，丧失了数学本身应该具有的思维活动。让学生在“真实的思维”中畅游，才是数学教学的“王道”所在！