探究函数的对称之“美”

吴熙玲

函数是高中数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，也是竞赛的焦点内容之一。函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简洁地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。现拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1 函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件：f(x)+f(2a-x)=2b。

证明 （必要性）设点P（x,y)是y=f(x)的图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)的图像上，∴2b-y=f(2a-x)，即y+f(2a-x)=2b。

故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)的图像上任一点，则y0=f(x0)。

∵f(x)+f(2a-x)=2b,

∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0)。

故点P′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)的图像上，而点P与点P′关于点A(a,b)对称，充分性得证。

推论 函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。

定理2 函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。（证明留给读者）

推论 函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)。

定理3 ①y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②y=f(x)的图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明。

∵函数y=f(x)的图像关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x，得

f(2b-x)+f［2a-(2b-x)］=2c。

（1）

又 ∵y=f(x)的图像同时关于直线x=b成轴对称，

∴f(2b-x)=f(x)代入（1），得

f(x)=2c-f［2(a-b)+x］。

(2）

用2(a-b)+x代x，得

f［2(a-b)+x］=2c-f ［4(a-b)+x］代入（2），得：

f(x)=f［4(a-b)+x］, y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

二、不同函数之间对称性的探究

定理4 函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5 ①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③。

证明 设点P(x0,y0)是y=f(x)的图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x0,y0)关于直线x-y=a的轴对称点为P1(x1,y1)，则x0=a+y1,

y0=x1-a。

∴代入y0=f(x0)之中，得x1-a=f(a+y1)。

∴点P1(x1,y1)在函数x-a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论 函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称，即原函数与反函数的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性

函数y=sinx对称轴方程：x=kπ+π2，对称中心坐标为(kπ,0)。

y=cosx对称轴方程：x=kπ，对称中心坐标为kπ+π2,0。

y=tanx对称中心坐标为kπ2,0,k∈Z。

四、函数对称性应用典例赏析

例1 设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时， f(x)=-12x，则f(8。6)=