利用余弦定理解决三角形解的个数问题利用余弦定理解决三角形解的个数问题

汪帆

【摘要】余弦定理和正弦定理一样，都是揭示了三角形边角之间的数量关系的重要定理。文献利用正弦定理讨论了三角形解的个数问题。本文证明了利用余弦定理与利用正弦定理讨论该问题的等价性，并举几道例题，最后谈谈自己的心得体会。

【关键词】正弦定理；余弦定理

在已知三角形的两边及其一边对角时(在△ABC中，已知边a,b和角A，解三角形)，文献中利用正弦定理解决了三角形解的个数问题，得到了以下的结论：

1蔽藿獾那榭觯孩貯为锐角且a

2币唤獾那榭觯孩貯为钝角或直角且a>b；②A为锐角且a≥b；③A为锐角且a=bsinA;

3绷浇獾那榭觯篈为锐角且AsinA

下面我们介绍利用余弦定理与利用正弦定理解决该问题的等价性。将已知条件代入a2=b2+c2-2bccosA可得一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0，由于三角形的边始终是正值，所以我们只需讨论方程的正根的情况。

1蔽拚根的情况：ⅰ。Δ<0；ⅱ。Δ≥0,

bcosA≤0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ。可得a

（2）由ⅱ得A为钝角或直角且bsinA≤a≤b，再加上情况①的A为钝角的情况则与文献中无解的情况②对应。

2敝挥幸桓稣根的情况：ⅰ。Δ=0，

bcosA>0；

ⅱ。Δ>0

bcosA≤0,

b2-a2<0；ⅲ。Δ>0,

bcosA>0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ可得A为锐角且a=bsinA，则与文献中一解的情况③对应。

（2）由ⅱ得A为钝角或直角且a>b，则与文献中一解的情况①对应。

（3）由ⅲ得A为锐角且a≥b，则与文献中一解的情况②对应。

3庇辛礁稣根的情况：Δ>0，

bcosA>0,

b2-a2>0。

由此可得，A为锐角且bsinA

下面举两个例子。

例1 在△ABC中，已知a=1,b=3,A=30°,解此三角形。

解 由余弦定理得c2-3c+2=0，解得c=1或c=2。

当c=1时，cosB=a2+c2-b22ac=-12，所以B=120°,则C=30°。

当c=2时，cosB=a2+c2-b22ac=12，所以B=60°,则C=90°。

例2 在△ABC中，已知a=2,A=60°,当b取何值时，△ABC无解？有一解？有两解？

解 由余弦定理可得c2-bc+b2-4=0。

（1）若△ABC无解，则方程c2-bc+b2-4=0无正根。因为二次函数f(c)=c2-bc+b2-4的对称轴为c=b2>0，则Δ=-3b2+16<0，解得b>433，所以当b>433时，△ABC无解。

（2）若△ABC有一解，则方程c2-bc+b2-4=0只有一个正根。则Δ=0或Δ>0，

b2-4≤0，

解得b=433或0

（3）若△ABC有两解，则方程c2-bc+b2-4=0有两个正根。则Δ>0,

b2-4>0,解得b>2，所以当b>2时，△ABC有两解。

根据上面的两个例子和之前的讨论可以看出，如果在解三角形时已知两边及其一边对角的情况下选择余弦定理解决问题，就将三角形解的问题转化为一元二次方程正根的问题，从而使问题的解决显得更加简洁。

【参考文献】

刘绍学。普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5［M］。北京：人民教育出版社，2007：8-9。