让数学课堂在变中出彩

曹雪平

摘 要：中考数学综合复习的目的是在短时间内帮助学生熟练掌握所学知识，为进一步地学习打好基础。“变式训练”是实现这一目标的方法之一。作者从概念、结构、题目、方法、思维五个方面进行变式训练，从逻辑推理上演绎出一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化，培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题、探究创新及灵活多变的思维能力。

关键词：中考数学复习 变式训练 选题

中考数学复习是初中学生进行系统学习的最后阶段，总复习的效果直接影响着学生对数学知识的掌握程度。调动学生复习的主动性和积极性，是提高复习效率的关键。由于总复习是知识的再现过程，学生容易产生厌倦心理，如何上好复习课，使学生易于接受，乐于接受？老师要吃透《数学课程标准》，掌握课程考试纲要，熟练驾驭教材，注重变式训练，让数学课堂在变中出彩。

数学学习贯穿两条主线，即数学知识和数学思想方法。“变式训练”蕴含着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的思想认识水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。复习时要让学生熟练掌握通用方法和规律，并能够灵活应用，而对那些适用面窄、局限性大的特殊技巧应予以淡化，以免削弱复习和训练的效率。在初中数学中，常用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想、整体思想等，应在解决问题的过程中加以揭示、运用和提炼，并在专题复习阶段进一步系统化。对于常用于数学解题的配方法、换元法、待定系数法等通法，尽管各自有其不同的特点和应用范围，但它们都是解决数学问题的强有力的工具，应在基础知识复习阶段进行渗透、解释和运用，并在专题复习阶段进行系统化的训练，要注意积累一些常规的解题方法，形成常规的解题意识和能力。下面是我在初三数学复习教学中的做法，供大家参讨。

一、通过正例变式突出概念的本质属性

一般意义上的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为正例变式，可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。

和一般科学概念一样，数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内。因此，教学的一种有效途径就是将概念的外延作为变异空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。

在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，这些对象在学生的概念理解系统中的地位并不相同。特别的，其中一些对象由于拥有“标准的”形式，或者受到感性经验的影响，或者在引入概念时的“先入为主”等原因，而成为所谓的标准变式。

在这两种正例变式中，标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。

二、通过反例变式明确概念的外延

概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰。因此，概念的教学除了在内涵上下工夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。

这类反例变式一般有两个来源：一是来自概念之间的逻辑关系；二是基于学生常见的错误。教师运用反例变式进行概念教学，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系，另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征。

反例变式的另一种形式是让学生举出不合某属性的例子。例如，命题“各边都相等的多边形是正多边形”是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举一反例。在去掉本质属性“各角相等”后，学生需要对各边都相等的多边形进行多次的检验、选择、批判，从而明白哪些是本质特征，哪些是非本质特征，再举出反例。在这一思考过程中，学生思维的批判性和创造性都会得到很好的培养。

总之，在数学概念的形成过程中，正例变式有利于“丰富”概念，反例变式有利于“纯洁”概念，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误，使数学概念的概括精确化，提高概念教学的有效性。

可见，数学教师运用变式来进行概念教学的基本特征是：通过各种概念之间，以及正例变式与反例变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延，实现对概念的多角度的理解，从而引导学生对概念进行灵活变换，使学生触类旁通、举一反三，进而“减负增效”，提高数学概念课堂的有效性。

三、变通知识结构，整理知识脉络

数学教材是按循序渐进、螺旋式上升的原则进行编排的，复习时若再按章节一一回顾知识要点，学生就会觉得枯燥乏味，心生厌烦，也不利于知识系统的形成。心理学研究表明新鲜事物容易使人产生兴趣，激发好奇心、求知欲。总复习阶段学生已经失去了上新课时的那种热情和新鲜感，因此，教师要调整知识结构，让知识以另一副面孔呈现。

根据学生的认知规律，教材在内容编排上往往把某些知识分散介绍。在总复习时，应将这些知识运用通性通法进行系统整理，给学生以整体全面的知识结构体系。例如，方程、不等式与函数是初中代数的重要内容，看似相互独立的三块知识结构，实际上是紧密联系、相辅相成的教学内容。在复习一次函数时，可利用图像阐明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之间的联系。而复习二次函数时，可利用图像阐明它和一元二次方程、一元二次不等式的联系。这样的知识整理可让学生对函数、方程、不等式有更全面的理解，在对旧知识进行梳理时，要进行多角度的审视，而不是机械地重复，让学生在耳目一新的同时，体会数学的紧密性、逻辑性和严谨性。

四、改编题目条件，实现知识迁移

题目变化包括条件的探究，即增加、减少或改变条件；结论的探究，即结论是否唯一；引申探究，即命题是否推广；数与形的探究，等等。利用此类变式方法，可以使学生掌握一类题的解法，即解题通法。其实解题不仅可以查漏补缺，检查知识的掌握情况，而且能够通过解题提炼出解题方法，解题技巧，培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题、探究创新、灵活多变的思维能力。

例如：如图1，正方形ABCD中，E、F在边BC、CD上，且满足∠EAF=45°，探索线段BE、EF、FD之间的数量关系并说明理由.

点拨：说明三条线段的数量关系，在图形准确的情况下，我们可通过初步测量其长度，寻找其关系。在得出三者的和差关系后，说理时，可采用“截长补短”的方法。例如：可延长CB到G使BG=DF，通过证明△AGB≌△AFD和△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

变式1.静动转换

把一无限大等腰直角三角板的锐角顶点放在A顶点处，三角板的两边分别与正方形的边BC和CD或其延长线相交于E、F点，当三角板绕点A旋转时，上例的结论还成立吗？

当三角板的两边分别与正方形的边BC和CD相交于E、F点时，结论BE+FD=EF成立；当三角板的两边分别与正方形的边BC和CD延长线相交于E、F点时，结论不成立，变为|BE-FD|=EF.

变式2.条件与结论转换

把例中BE、EF、FD关系与∠EAF=45°互换，命题还是真命题吗？

变式3.弱化题设

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且满足∠EAF=∠BAD.

探究原结论是否成立.

点拨：题中∠EAF=∠BAD，可转化为∠EAF=∠BAE+∠FAD，仍采用例1的解法，即延长EB到G使BG=DF，由∠B+∠D=180°，∠ABE+∠ABG=180°，得出∠D=∠ABG，再通过证明△AGB≌△AFD得出∠BAG=∠DAF，进而得出∠FAE=∠EAG，再通过证明△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

事实上，许多课本习题是编写者精心筛选、匠心独运命制而成的，具有丰富的内涵，平时解题时应引导学生进行解题反思。既要反思题目的条件与结论之间因果关系能否交换，又要注意命题条件能否等价的更换，结论能否拓展、引申与推广，图形的结构能否发生变化，怎样变化？从而培养学生的数学思维方法的变通。总结的过程需要运用许多相关知识，因此，有的学生不愿意在这方面下工夫，而忽略了它，但真正做起来就会觉得其妙无穷，因为总结解决的不只是解一道题，更为重要的是学生在这一过程中会参与创造性思维活动，这一点绝非单纯地解多少道题目所能比及的，如果教师能引导学生认真做好解题后的反思总结，横穿纵拓地探索，必能激起学生探求数学奥秘的动机，对数学学习产生浓厚兴趣。久而久之，就可以让学生学到总结归纳的方法，收到“做一题，通一类，会一片”，举一反三、触类旁通的功效。

五、变换解题方法，感受数学思想

对于解题方法而言，当从某个角度难以入手时，可以换一个角度。对各种思路、方法分析比较，是形成创新意识、创新能力的源泉。通过有意识地精选可用多种思路来完成的典型题，利用方法变通，可帮助学生找到解题的“切入点”，领会数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想，掌握换元法、配方法、待定系数法等常用数学方法。

例如：关于x的一元二次方程x-2x+a=0有解的条件是.

分析：这题是直接考查一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有解，满足2-4a≥0，即a≤1.

变式：（1）关于x的一元二次方程ax-2x+1=0有解的条件是；

（2）关于x的方程ax-2x+1=0有解的条件是；

（3）二次函数y=ax-2x+1与x轴有交点的条件是；

（4）函数y=ax-2x+1与x轴有交点的条件是.

我预先把题抄到小黑板上，让每个同学都积极思考，在分组讨论，比较四小题关系，让他们都能体验自己的成功，课堂因不同的方法而变得精彩。

六、变换思维方式，培养创新能力

“数学是训练思维的体操”。思维变通往往指的是以上几种变通的综合，尤其是题目变式和方法变化。在中考数学复习教学过程中，利用此类变式问题可以培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，从而更好地挖掘学生的潜能，提高学生的综合素质。

例如：如图3，在小河l的同侧有牛栏A和草地B，牛每天要先到河边饮水，然后到草地吃草。请问牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

这是一道典型的几何作图试题，它涉及轴对称、两点之间线段最短、尺规作图等数学知识，若将这道题稍加变式，则能激起学生更大的思维浪花。

变式1：一束光线从x轴上点A（1，0）出发，经过y轴上点P反射后经过点B（4，6），则点P坐标.

变式2：在上题中，试在y轴上找一点P，使PB-PA的值最大，则点P坐标.

变式3：在y轴上试在y轴上找一点C，使CB+CA的值最小，则点C坐标.

思路分析：若P、A、B不在一直線上，则PB-PA＜AB；若P、A、B在一直线上，则PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB，其最大值为AB，求出直线AB与y轴的交点即P点.变式3可用类似的方法求得C坐标。在展示这道变式题时学生的兴致很高，尤其是基础比较扎实、成绩比较优秀的学生，收效甚好。

在变式探究过程中，学生的思维逐步深入，并影响着课堂的气氛，课堂常常因奥妙精彩的变化而达到高潮。教学的关键不是记住结论，而是经历探究的过程，感受数学的研究方法，促进数学能力的提高，只有在运用通性通法进行不断变式演练的过程中，才能提高解题能力。教师通过变式教学，有意识、有目的地引导学生从“不变”的本质中探究“变”的规律，可使学生思维在所学知识中游刃有余，顺畅飞翔。

在总复习中，教师不能将新题型的复习游离于通性通法之外，应重视选题和变式训练，通过变式训练帮助学生多角度理解知识，掌握数学知识中蕴含的数学思想和方法，从而达到灵活运用的目的。挖掘每个数学问题的“营养价值”，达到“以少胜多”、“举一反三”、“融会贯通”的效果，是数学教师锤炼自身内功的一个追求目标，例题、习题要体现通性通法，既包含数学思想方法，又适量“难、新、活、宽”，做到难而不怪、新而不奇、活而不乱、宽而不偏，从而使数学课堂在“变”中出彩。