发挥习题功效, 培养学生的数学思维能力

孙桂华

摘要： 高中数学课程教学应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，也是《普通高中数学课程标准》的要求。在高中的数学教学中，应通过课后习题探究，启发学生思维，培养学生的数学思维能力。

关键词： 高中数学教学习题数学思维能力

新教材的高中数学课后习题是经过专家学者潜心研究，精心设计的，具有典型的范例作用，渗透了新课标的思想，起着培养学生的数学思维能力的作用，极具探究价值。我通过人教必修五第二章数列课后习题的教学谈谈认识。

一、培养学生的归纳猜想能力

伟大的物理学家、数学家牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想是一种创造性的思维活动，它可“导出”新颖独特的思维成果。在已知领域中有所创新，在未知的领域中有所发现或突破。在必修五第二章数列的课后习题教学中，应把“归纳”与“猜想”两种思想方法相结合，从而提高学生“归纳猜想”的能力。

例1（必修五31页习题）根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式。

例2（必修五教材第33页习题A组5题）根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式。

例3（必修五34页B 组）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式。（图形略）

后两道题不仅培养了学生的归纳猜想能力，还通过图形与数列的结合探究，实现了数学的美育功能。

二、培养学生的类比推理能力

波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理的能力。人教版必修五第二章，在等差数列、等比数列的教学设计上，明显体现出类比的思想，课后的习题设计也体现出这一思想。所以在习题课中，教师要领会新课程思想，培养学生的类比推理能力。

例如必修五第39页练习第4题，第5题。学生探究，老师引导得出相应的结论。所以在人教A必修五第53页等比数列习题中就可以让学生进行类比推理方法学习。等差数列与等比数列的类比学习，不仅可以促进学生对知识的掌握，还可以培养学生的类比推理能力。

三、培养学生应用数学解决实际问题的能力

《数学课程标准》明确指出：“使学生感受数学与现实生活的密切联系，使学生初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题。”这一要求揭示了数学与实际生活之间的关系，即数学源于生活、寓于生活、用于生活。因此，在人教版A必修五数列的课后习题中，有大量的实际应用问题，如：购房问题等，使学生通过了解数学知识在实际中的广泛运用，培养学生用数学眼光看问题，用数学头脑想问题，增强学生用数学知识解决实际问题的意识。在教学中我尝试将数学和生活进行有效融合和连接，将抽象的数学本质生活化，从而大大激发了学生的学习兴趣，培养了学生将纯数学问题转化成解决具体实际问题的能力。

例如（人教必修五62页）

购房问题 ：某家庭打算在2010年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2004年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元，如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存入多少钱？

引导学生思考如何把实际问题化为数学模型，从而培养学生应用数学解决实际问题的能力。

四、培养学生探究总结的能力

高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。通过人教A必修五第二章习题的教学，培养学生探究总结的能力。

例如：必修五（人教版）第69页5题

引申：形如a=pa+q（p、q为常数，而且p≠0，p≠1），求通项a。

思路1：可用不完全归纳法猜想

思路2：迭代法（过程略）

思路3：构造法 （过程略）

归纳总结：若数列{a}满足a=pa+q（p≠1，q为常数），则令a+λ=p（a+λ）来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例如：必修5教材69页。本题是两次构造等比数列，最终用加减消元的方法确定数列的通项公式。又如：必修五45页练习2，引申：已知数列{a}的前项和为S，求这个数列的通项公式a，这些习题的引申拓展，能培养学生的探究总结能力。

五、培养学生的社会实践能力

荷兰著名数学家弗莱登塔尔认为：数学教育是一个活动过程，在整个活动过程中，学生应该处于一个积极、创造的状态 。学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才有可能进行再创造。而教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，引导学生探索获得知识、技能的能力。

例如：人教A必修五62页第4题：收集本地区有关教育储蓄的信息问题，设计本题的目的是培养学生的社会实践能力，处理此题的时候，我提前布置课外作业，使学生有充足的时间进行社会调查，等下一周数学课的时候，采用合作交流的形式完成此题。此课结束后，学生异常兴奋，在实践中体验了学习数学的兴趣。不仅培养了学生的实践能力，还培养了学生的合作学习的精神。

必修五第二章中的一些习题还能培养学生利用“数形结合”“算法”等思想分析问题、解决问题的能力，所以在习题课的教学中我们应该有意识地挖掘，拓展习题的功效，达到通过练习培养学生的数学思维能力目的。

参考文献：

［1］高中数学必修4（人教A版）教材习题.

［2］波利亚.数学与猜想——数学中的归纳与类比［M］.北京：科学出版社，2001，（7）.

［3］黄立锟.运用“归纳猜想法”培养创造性思维能力.广西教育，2002，（32）.

［4］陈贵伦.高中数学教学中培养学生创新精神与实践能力的做法.数学教学研究，2002，（7）.