用矩阵分块计算行列式的解法

房月华

摘要： 分块矩阵一般处理阶数较高的矩阵，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简单化.本文主要是利用分块矩阵来解决一些复杂的行列式的计算，把矩阵的分块思想转移到行列式的计算上来，通过对矩阵进行适当分块使行列式的计算问题迎刃而解，收到了简化运算的效果.

关键词： 分块矩阵行列式计算

一、引言

数学上，矩阵行列式的计算是高等代数的一个传统而悠久的问题.对于一般的高阶矩阵，在计算和证明这些矩阵时会很繁琐.分块矩阵形象地揭示了矩阵的结构.矩阵的分块在处理高阶矩阵时是常用的一种方法.方阵A的行列式记做|A|，是由矩阵A的元素按着原来的排列顺序得到的行列式，而分块矩阵的行列式即是先把矩阵进行分块而后再求行列式，从而简化运算.一般的n×n阶行列式的求行列式，在计算上比较复杂.本文将矩阵的分块思想法转移到行列式的计算上来，收到了简化计算的效果.

一般对于高阶行列式的计算通常都是根据行列式的性质采用拉普拉斯定理按行（列）展开，但是计算比较复杂.本文利用矩阵分块的方法来计算高阶矩阵的行列式，既使人明了矩阵的结构，又简化了行列式的计算.

二、基础知识及预备引理

1.分块矩阵的概念

用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：

AA…AAA…A… …AA…A

其中每个小矩阵A（i=1，…s;j=1，…t）叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵.

2.分块矩阵的性质

设方阵A是由如下分块矩阵组成A=AAABBBCCC，其中A，A，A，B，B，B，C，C，C都是s×t矩阵，M是任一s×s方阵，对于矩阵B=A AAMB MB MBC CC，则|B|=|M||A|.

3.重要定理

拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.

引理设矩阵P=B0… 0B B …0……?埙0B B… B或P=BB…B 0B…B… … ?埙… 0 0 0 B

其中BB…B均为方阵，则|P|=|B||B||B|…|B|.

三、利用矩阵分块计算行列式

在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的结构简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.利用分块矩阵方法计算行列式，使行列式的计算变得简单.

1.矩阵为上（下）三角时行列式|M|的计算

若P=B 0 … 0BB … 0…… ?埙 0BB…B或P=BB…B 0B…B?噎 ?噎 ?埙… 0 0 0 B为上（下）三角形分块矩阵则对应的行列式的值等于其主对角线上的各分块矩阵的行列式的乘积，其中B是n阶方阵（i=1，2，…，s）且n=n，即：|P|=|B||B||B|…|B|成立.

2.一般方阵行列式的计算

定理假设M=ABCD为一个分块矩阵，其中A为r阶方阵，B为r×s阵，C为s×r阵，D为s阶方阵，则：（1）当A为可逆时，|M|= |A||D-CAB|；

（2）当为D可逆时，|M|=|D||A-BDC|.

证明：（1）当|A|≠0时，有IO-CAIABCD=ABOD-CAB，两边取行列式即可得（1）式.

（2）当|D|≠0时，有I-BDO I=ABCD=A-BDCO C D，两边取行列式得（2）式.

推论设M=ABCD是一个四分块2n阶矩阵，其中ABCD均是n阶方阵，则：（1）当A可逆且AC=CA时，|M|=|AD-CB|;当A可逆且AB=BA时，|M|=|DA-CB|；（2）当D可逆且DC=CD时，|M|= |AD-BC|；当D可逆且DB=BD时，|M|=|DA-BC|.

例：计算xaaaaxaaaaxaaaax

解：令A=xaaxB=aaaaC=aaaaD=xaax

显然AC=CA且AD=xaaxxaax=x+a2ax2ax x+a

CB=aaaaaaaa=2a2a2a2aAD-CB= x-a 2ax-2a2ax-2ax-a，因此有xaaaaxaaaaxaaaax=ABCD=|AD-CB|=（x-a）-（2ax-2a）=（x+3a）（x-a）

四、小结

本文就形如|H|=ADCB（A，B，C，D分别是m，n，m×n和m×n矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成A，B，C，D后，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算.

参考文献：

［1］贾长友.分块矩阵的一个运用定理［J］.哲理木畜牧学院学报，1996，6，（4）:72-74.

［2］杨月婷.一类分块矩阵的谱包含域［J］.数学研究，1998，13（4）:88-92.

［3］马元婧，曹重光.分块矩阵的群逆［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2005，9（4）:43-48.

此文章系衡水学院院级重点课题，课题编号为：2010009。