数学转化思想在高考解题中的两类应用

罗为民

〔关键词〕 数学教学；转化思想；解题；应用

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）18—0085—０1

数学转化思想是非常重要的数学思想方法之一.在解决数学问题时，我们应用数学转化思想，将陌生的“新问题”转化为熟悉的“旧问题”，将“繁杂的问题”转化为“简单的问题”，从而使问题迎刃而解.现将数学转化思想在两类高考解题中的应用举例说明如下，希望能对广大学子们有所启迪和帮助.

结论一：已知函数y=f（x），x∈D（D是定义域），M∈R，且f（x）存在最值.

（1）对?坌x∈D，f（x）≥M恒成立?圳f（x）min≥M，x∈D.

（2）对?坌x∈D，f（x）≤M恒成立?圳f（x）max≤M，x∈D ；

（3）对?坌x1、x2∈D，恒有│f(x1)－f(x2)│≤f(x)max－f(x)min成立.

结论二：已知函数f(x)，x∈D（D是定义域）, M ∈R，且f（x）存在最值.

（1）若?埚x∈D，使得f(x)≤M成立?圳f(x)min≤M，x∈D；

（2）若?埚x∈D，使得f(x)≥M成立?圳f(x)max≥M，x∈D.

例1已知f（x）=■x3-bx2+2x+a ，x=2是f（x）的一个极值点.

（1） 求函数f（x）的单调区间；

（2） 若当x∈[1，＋∞)时，f（x）-■>a2恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）f′（x）=x2－2bx＋2，由已知得f′（2）=4－4b＋2=0，故b=■.

故f′（x）=x2－3x＋2=(x－1)(x－2)，由f′（x）>0得x<1或x>2；由f′（x）<0得1

（2）由（1）知f(x)在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故当x∈[1，＋∞）时，f（x）在x=2处取得最小值，f（x）min=f（2）=a＋■.由x∈[1，+∞）时，f（x）－■>a2恒成立?圳f（x）min－■>a2， x∈[1，+∞）?圳a>a2 ?圳0

例2(2011年全国高考浙江卷) 设函数f(x)=a2lnx－x2＋ax，a>0.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）求所有的实数a，使得e－1

解：（1）由已知得f′(x)=■－2x＋a=－■ =-■，x∈(0，+∞).∵a>0，∴f(x)的增区间为（0，a），减区间为（a，+∞）.

（2）由题意得 f(1)=a－1≥e－1，即a≥e.∴[1，e]?奂（0，a），∴由（1）知f(x)在[1，e]内单调递增，故有 f（x)max=

f（e）=a2-e2+ae，f（x）min=f(1)=a-1.

故e－1例3已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x =±1处取得极值.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1、x2，都有 ｜f(x1)-f(x2)｜≤4.

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，依题意得f′（1）=f′（-1）=0，即3a+2b-3=3a-2b-3=0，解得a=1，b=0，故

f（x）=x3-3x.

（2）f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，故当x<-1或x>1时，f′（x）> 0；当-1

∴f(x)max=f(-1)=2，f(x)min=f(1)=-2.

故对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1、x2，都有∣f（x1）-f（x2）∣≤f(x)max-f(x)min=2-(-2)= 4.

总之，在解决数学问题时，只要善于运用数学转化思想，就能将问题化“新”为“旧”，化“繁”为“简”，化“陌生”为“熟悉”，数学思想方法的运用，将在解决问题的过程中起到神奇的效果，从而使一些较复杂的数学问题迎刃而解，达到解决问题的目的.

编辑：谢颖丽