类比法在数学教学中的应用

彭端英

摘要： 类比是我们推广数学概念、拓展数学命题、探究解题思路、进行数学猜想和思维创新的重要推理方法，它是从个别到个别，或者说是从特殊到特殊的推理。类比推理能启迪人们的思维，促进人们的联想，从而可以扩大人们的视野，开拓人们的认识。它是一种创造性思维方法，在发现科学事实及提出科学假说方面有着重要的作用。

关键词： 类比法归纳推理演绎推理数学教学

类比是数学猜想和思维创新的指南针。在自然科学发展史上，无论古代、近代，还是现代，类比在科学发现中都是一种被普遍应用的方法。类比方法的应用是随着科学思维水平的提高而不断发展的。这种发展具体表现在：从简单到复杂，从静态到动态，从定性到定量的发展。

一、类比

1.类比的涵义

所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。简称类推、类比。它是科学研究中常用的方法之一。

类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论。

?誗相似或相同属性是推理的依据，即为前提。

?誗推出两个事物的其他属性相似或相同，即为推理结论。

?誗例如：

2.类比法的优势

*类比法不限于同类事物中比较

*类比法不限于事物的个数多少

*类比法可以比较本质特征也可以比较非本质特征

3.类比法的模式表式

M对象有a、b、c、d属性

N对象有a、b、c属性或a′、b′、c′属性（表示相同或相似）

所以N对象可能有d或d′属性

上述的“M”、“N”是指不同的对象：或是指不同的个体对象，比如地球与太阳；或是指不同的两类对象，比如植物类与动物类；或是指不同的领域，比如宏观世界与微观世界。类比推理的应用场合是多种多样的，有时也可以把某类的个体对象与另—类对象进行类比，例如，为了弄清某种新药物在人类身上的效用和反应如何，往往是用某类动物个体来做试验，然后通过类比求得答案。

4.类比结论都是正确的吗？

答案是否定的。

如果前提中确认的共同属性很少，而且共同属性和推出来的属性没有什么关系，这样的类比推理就极不可靠。这种类比称为机械类比。

类比的结论是或然的。类比的结论之所以具有或然性主要是由于以下两方面的原因；一方面是因为对象之间不仅具有相同性，而且具有差异性。就是说，M，N两对象尽管在一系列属性（a、b、c）上是相似的，但由于它们是不同的两个对象，总还有某些属性是不同的。如果d属性恰好是M对象异于N对象的特殊性，那么我们作出N对象也具有d属性的结论，便是错误的。例如，地球与火星尽管它们在一系列属性上是相似的（太阳系的行星，存在着大气层，适于生命存在的温度，等等），但是地球上有生物，能不能说火星上也有生物呢?不能，因为火星还有不同于地球的特殊性。近年来航天的科学考察表明，火星上并未发现什么生物。另一方面，对象中并存的许多属性，有些是对象的固有属性，有些是对象的偶有属性。比如，血液循环是人体的固有属性，而吃了鸡蛋产生过敏反应，这是个别人身上的偶有属性。如果作出类推的d属性是某一对象的偶有属性，那么另一对象很可能就不具有d属性。

类比，作为一种推理方法，它是通过比较不同对象或不同领域之间的某些属性相似，从而推导出另一属性也相似。它既不同于演绎推理从一般推导到个别，又不同于归纳推理从个别推导到一般，而是从特定的对象或领域推导到另一特定对象或领域的推理方法。

尽管类比推理可以在某类个体对象与另一类对象之间进行，但是类比推理却不能在某类与该类所属的个别对象之间进行。如果以为类比推理是归纳推理和演绎推理的压缩，那就错了。类比推理只能在两个不同对象或不同领域中进行过渡。

有人认为存在着这样一种类比推理：

S类的某一个体具有属性a，b，c，d。

S类具有属性a，b，c。

所以，S类具有属性d。

这种观点是错误的，因为这是凭主观想象用类比推理的模式去描述了一个实际上是归纳概括的逻辑过程。诚然，无论是归纳推理还是类比推理都是已有知识的外推和扩展。但是不能因此而混淆了两种推理方法之间的根本区别：归纳推理是从个别（特殊）概括到一般，而类比推理是从某一特定的对象或领域外推到另一个不同的特定的对象或不同的领域。

还有人认为有这样一种类比推理：

S类对象具有属性a，b，c，d。

S类的某一个体对象具有属性a，b，c。

所以，S类的某一个体对象具有属性d。

这种观点同样也是错误的，因为这是凭主观想象用类比推理的模式去描述了一个实际上是演绎的逻辑过程，演绎推理是从一般推出个别（特殊），而类比却是从某一特定对象或领域外推到另一个特定对象或领域的。这种根本区别不能混淆。

二、类比在数学教学中的应用

数学类比：数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法。

在中学数学教学过程中，如定义、定理、推导公式、证明等，我们常常会有些“似曾相识”的感觉。如果把“似曾相识”的东西进行比较，加以联想，可能就会出现许多意想不到的结果和方法。这种“把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法。

1.公式、定理等形式上类比联想

实践证明这是正确的。

长方形与长方体有很多属性相同：对边互相平行，邻边互相垂直。

其性质类比联想：长方形对角线的平方等于长和宽的平方和。

?陴长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和。

同理：柱体与矩形相似、锥体与三角形相似，台体与梯形相似，故进一步类比联想：

立体几何知识是平面几何知识的发展和推广，在公式计算，解题方法上有很多相通之处，故立体几何问题往往转化为平面几何问题来解决。

2.运算、方法等实质上类比联想

用字母来表式数就有了式，故在加、减、乘、除、通分、约分等运算法则上数与式是相似的。这给我们解决问题带来了很大的方便。

例：多项式除以多项式

问题：填空：（）（2x+1）=6x+7x+2

这个问题实际上求（6x+7x+2）÷（2x+1）=？

用竖式计算：21 类比 2x+1

用多项式乖法可证明这是正确的。

3.学思路上类比的助发现作用

类比还常常被用于解释新的理论和定义，它具有助发现作用，当新理论刚提出之时，必须通过类比用人们已熟悉的理论去说明新提出的理论和定义，这就是类比助发现作用的表现。在科学发现中，类比的这种助发现作用是不可忽视的。

例如：观察（1）=2（2）=3

形式上：左式是和取根式，右式是数乘根式，且数字位置不变。即有

=a

可证明成立：===a

这是一个由特殊到一般的过程，很妙的。可是朋友们，再想想还有更妙些的吗？由推导过程我们还可发现分数指数与根指数有关。可进一步推广到下式成立：

=a

它是从个别到个别，或者说是从特殊到特殊的推理。类比推理能启迪人们的思维，促进人们的联想，从而可以扩大人们的视野，开拓人们的认识。它是一种创造性思维方法，在发现科学事实及提出科学假说方面有着重要的作用。类比是我们推广数学概念、拓展数学命题、探究解题思路、进行数学猜想和思维创新的重要推理方法。

还有如：等差数列与等比数列（仅一字之差），无论是定义上，还是性质上、解题方法上都是非常相似的，因此在教学上教师可以利用类比的方法去引导学生。在学习新知识时，通过对已学知识的回忆类比，给学生创造最佳的思维环境，引导学生猜想出新授知识的内容、论证的思想方法，激发学习积极性，变被动接受为主动学习。

4.类比推理在图形推导上的应用

△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S表示的△ABC面积（可作为三角形内切圆半径公式）。

S=S+S+S=AB·r+BC·r+CA·r=lr

（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆且面积为S，各边长分别为a，a，a，…a，合理猜想其四边形的内切圆半径公式。

解：（1）S=×5×12=30

30=lr

r=2

（2）r=2S/（a+b+c+d）=lr

（3）r=2S/（a+a+a+…+a）=lr

5.条件判定上的类比推理

例：（2010年南京）学习“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”类似地，可以得到：“满足一锐角对应相等，或两直角边对应成比例，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，可以得到：“满足斜边和一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似”。

证明略。事实证明这些结论正确的。

三、合理性原则

为了使类比在科学发现中发挥有效的作用，人们进行类比推理时应当注意以下原则。

第一，类比所根据的相似属性越多，类比的应用也就越为有效。这是因为两个对象的相同属性越多，意味着它们在自然领域（属种系统）中的地位也是较为接近的。这样去推测其他的属性相似也就有较大的可能是合乎实际的。

第二，类比所根据的相似属性之间越是相关联的，类比的应用也就越为有效。因为类比所根据的许多相似属性，如果是偶然的并存，那么推论所依据的就不是规律的东西，而是表面的东西，结论就不大可靠了。如果类比所依据的是现象间规律性的东西，不是偶然的表面的东西，那么结论的可靠性程度就较大。

第三，类比所根据的相似数学模型越精确，类比的应用也就越有成效。因为只有在精确的数学模型之间作出类比，才能把其中相关的元素分别地准确地对应起来，才能较为有效地作出新的发现。

参考文献：

［1］类比.百度百科.

［2］郭思乐，刘远图.中学数学教学.光明日报出版社，1987.

［3］王锋.江苏：少年智力开发报，（第49期）.