善寻规律,巧妙突破

李鹏钥

摘要： 作者对在平时教学中，以及在历年中考中常见的规律题如何正确求解进行了分析和探索。面对此类题目首先要树立信心、耐心读题，善于捕捉有用信息，然后循序渐进、顺藤摸瓜，寻找本源、透过现象看本质.

关键词： 数学中考规律题心理支撑基本解题策略

从小学到中学，对于按规律填数，按规律写出第n个数或式子的表达式等题型频频出现，在各级各类教辅用书上更是屡见不鲜，在近几年各地数学中考题中也时有现身，这类问题学生往往感觉比较棘手.本文就近几年中考题中出现的这类题目进行分类整理，以探求出解决此类问题的心理支撑和基本策略.

1.树立信心，学会读题，正确捕捉有用信息。

此类问题有个很明显的特点，即题目长度和信息容量都很大，学生拿到题目从心理上很可能会被题目所吓倒，从而产生不愿去探求的念头.在复习中，首先应让学生突破心理障碍，以一种轻松游戏的心理去阅读试题，试题的长度仅仅是表述得更加直白，让学生感受到其中的游戏氛围，融入题目中，进而便能产生探求欲，为正确把握住变化规律打好基础.

例1：如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l上，OA边与直线l重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O处，点B运动到了点B处；小慧又将三角形纸片AOB绕点B按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A处，点O运动到了点O处（即顶点O经过上述两次旋转到达O处）.

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l围成的图形面积等于扇形AOO的面积、△AOB的面积和扇形BOO的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合，然后将正方形纸片绕着顶点按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O处（即点B处），点C运动到了点C处，点B运动到了点B处；小慧又将正方形纸片AOCB绕顶点B按顺时针方向旋转90°，……按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π?

请你解答上述两个问题．

如此长的题目表述是绝大多数学生考试的“杀手”，解决此题的关键要具备以下两点.

首先，要从心理上坚决克服畏惧心理，一定要有细心、耐心和坚强的自信心等心理品质，不要被冗长的文字所吓倒.

其次，要学会读题、审题、善于捕捉住题中有用的条件和线索，去除一些与解题目标相距甚远和影响思维进展的干扰信息，进而找出所给有用信息之间的规律性联系.

当然，能够较顺利获得上述的追求，需要我们在平时教学中多加训练，日积月累，必定能让学生以一种轻松的心态面对这类试题.

2.循序渐进，合情推理，正确把握题目规律。

找规律问题一般都是归纳推理和类比推理之类的问题，正是基于这样的合情推理的范畴，我们更要在平时训练中多加训练学生的思维习惯，通常的思维程式是从特殊到一般，由简单到复杂，循序渐进，努力让学生把握住变化的规律.

例2：如图2，小明作出了边长为1的第1个正△ABC，算出了正△ABC的面积.然后分别取△ABC的三边中点A、B、C，作出了第2个正△ABC，算出了正△ABC的面积.用同样的方法，作出了第3个正△ABC，算出了正△ABC的面积……由此可得，第10个正△ABC的面积是（）.

思维过程:

第一步:很容易算出第一个三角形的面积：得S=1××=，即S=.

第二步:根据第二个三角形的作法知第二个三角形与第一个三角形相似且相似比为，因为相似三角形的面积比是相似比的平方所以可得S=S=×，依次类推，第三个三角形面积是第二个三角形面积的，即S=S=（）S=（）×，

S=S=（）S=（）×，

……

第三步:至此，规律便易发现：S中的n与后面式子之间的关系是什么？要注意下标与指数之间的关系：S=×（），于是得S=×（）.

由此可见，在解答此类问题一定要训练学生养成良好的思维习惯，遵循合情推理的发展规律，由简单到复杂，循序渐进，真正把握题目的本质规律.

3.顺藤摸瓜，寻找本源，透过现象看本质。

有些找规律的问题，不仅仅考查学生能否准确找到规律，有时还要查考发现规律的过程，抑或考查规律的实质或源头，真正发展学生的数学理性精神.所以，在平时教学中，也应适当地对规律的本质进行有针对性的训练与思考，不能就题讲题，而应帮学生去寻找知识的本质.

例3：下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：-1+；

第2个数：-1+1+1+；

第3个数：-1+1+1+1+1+；

……

第n个数：-1+1+1+…1+．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）.

A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数

我们看看本题的解题过程：

第一步:先仔细计算给出的前三个数，

第1个数计算结果为-=0

第2个数计算结果为-××=-=-

第3个数计算结果为-××××=-=-

第二步:观察前三个数的计算过程发现：从第二个数开始后面多乘的两个数乘积都为1，于是可把发现写成如下形式：

第1个数计算结果为-

第2个数计算结果为-

第3个数计算结果为-

第三步:于是猜想第4个数计算结果为-，通过验证发现是正确的，

……

猜想:第n个数的计算结果为-.

第四步：由于容易比较前面的、、、…、、、，发现它们是递减的，所以得到一般性的规律：代数式-是随着n的增大而减小，从而在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是第10个数.

从上面的解题过程来看，对于发现式-的过程及该式为递减的过程是极其重要的思维方式，既用到了归纳，又用到了类比，这样的发现过程是较为理性地发现了变化的本质规律，对学生的影响是重大的。不仅有感性的一面，而且更多的是学会了一种思维方式，对学生的数学理性精神传承也起到了重要作用.