圆的摆线问题探究

汪喜天 康建军

在高中数学（北师版）选修4-5参数方程一章给出了圆的平摆线与渐开线的参数方程.圆除了平摆线与渐开线外，还有其他摆线，笔者经过探究，推导出圆的其他几种摆线的参数方程.

一、短幅摆线与长幅摆线

1.定义

①当动圆C沿着定直线L滚动时，圆C内部定点M的运动轨迹（这样的曲线称为短幅摆线）.

②当动圆C沿着定直线L滚动时，圆C外部定点M的运动轨迹（这样的曲线称为长幅摆线）.

③短幅摆线与长幅摆线统称为变幅摆线.

2.短幅摆线的参数方程

设CM连线与圆C交于点A，取点A的初始位置O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，圆C滚动的方向为正方向，建立如图所示坐标系.

设圆C的半径为r，CM=a（a

于是：x=OP-QP=rα-asinα，

y=MQ=CP+CN=r-acosα，

即得到点M轨迹的参数方程是

x=rα-asinα，

y=r-acosα.（α为参数）

注 ①当a=r时，上述方程为圆的平摆线方

程x=r（a-sinα），

y=r（1-cosα）.

②当a>r时，上述方程为圆的长幅摆线方程.

二、圆的内摆线与外摆线

1.定义

①设半径为R的定圆O和半径为r的动圆C（R>r），当圆C在圆O内无滑动地滚动时，圆C上一定点M的轨迹叫内摆线.

②设半径为R的定圆O和半径为r的动圆C（R>r），当圆C在圆O外无滑动地滚动时，圆C上一定点M的轨迹叫外摆线.

2.圆的内、外摆线的参数方程

（1）内摆线的参数方程

如图，A为点M的初始位置，以O为原点，以OA为x轴，建立如图所示坐标系，设圆C转动的角度为∠BCM=α，此时两圆相切于点B，设M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作CQ⊥x轴于Q，作MN⊥CQ于N，设∠AOB=θ，由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，所以θ=rα[]R.又∠MCN=π-π[]2-θ-α=π-π[]2+rα[]R-α=π[]2-1-r[]Rα.所以x=OP=OQ+QP=（R-r）cosrα[]R+rsinπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=MP=CQ-CN=（R-r）sinrα[]R-rcosπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα.

即点M的轨迹参数方程为：x=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα，（其中α为参数）.

注 当R=2r时，点M的轨迹是圆O的一条直径（此为2011年江西高考理科第10题）.

（2）外摆线的参数方程

如图，点A为点M的初始位置，以O为原点，以OA为x轴，建立如图所示坐标系，设圆C转动的角度为∠MCB=α，此时两圆相切于点B，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，过B作BQ⊥x轴于Q，作MN⊥BQ于N，连CM，设∠AOB=θ，

由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，

所以θ=rα[]R，∠MBN=1[]2（θ+α）=1[]2r[]R+1α.

在△BMC中，可得BM=2rsinα[]2，

所以x=OP=OQ+QP=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，y=BQ-NQ=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α.

即点M的参数方程为

x=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，

y=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α，

（其中α为参数）.

注 当R=r与R=2r时，点M的轨迹分别是心脏线和肾脏线.