对三次函数图像内接正方形的研究

苏勇

本文研究三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a>0）图像C1内接正方形个数.

首先把问题进行如下的简化，将C1按向量b[]3a，bc[]3a-2b3[]27a2-d平移，则平移后所得图像C2对应的解析式为y=ax3+c-b2[]3ax，再记c-b2[]3a=m，则y=ax3+mx.

若m≥0，则函数y=ax3+mx在（-∞，+∞）上为增函数，因此曲线C2不存在内接正方形.故以下的讨论中假定m<0.如图1所示，设曲线C2内接正方形ABCD的四个顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则直线AB的斜率

kAB=y1-y2[]x1-x2=（ax31+mx1）-（ax32-mx2）[]x1-x2

=a（x31-x32）+m（x1-x2）[]x1-x2

=a（x21+x1x2+x22）+m.

同理kBC=a（x22+x2x3+x23）+m，

kCD=a（x23+x3x4+x24）+m，

kDA=a（x24+x4x1+x21）+m，

由AB∥CD，BC∥AD得

kAB=kCD，kBC=kDA，

也即a（x21+x1x2+x22）+m=a（x23+x3x4+x24）+m，

a（x22+x2x3+x23）+m=a（x24+x4x1+x21）+m，

x21+x1x2+x22=x23+x3x4+x24，

x22+x2x3+x23=x24+x4x1+x21.

两式相加得

2x22+x2（x1+x3）=2x24+x4（x1+x3），

（x2-x4）[2（x2+x4）+（x1+x3）]=0.

因为x2≠x4，所以2（x2+x4）+（x1+x3）=0.

又因为AC与BD的中点是同一点，所以x1+x3=x2+x4，故x1+x3=0，从而y1+y3=0，所以正方形ABCD的中心为原点.因此可设AC方程为y=kx（k>0），则BD方程为y=-1[]kx，由y=kx，

y=ax3+mx得ax3=（k-m）x，x=0，或x=±k-m[]a，

所以AC=1+k2·2k-m[]a.同理BD=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a，

由AC=BD得

1+k2·2k-m[]a=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a.（1）

由于AC随k的增大而增大，故不同的k值对应不同的内接正方形，因此方程（1）的解的个数等于内接正方形的个数.将（1）平方化简得k-m=1[]k2-1[]k-m，

k2-mk=1[]k-1[]k-m=-1[]k2-m1[]k，

k2+1[]k2-mk-1[]k=0，

k-1[]k2-mk-1[]k+2=0.（2）

令t=k-1[]k，则方程化为

t2-mt+2=0.（3）

因为t=k-1[]k（k>0）值域为R且t与k是一一对应的，所以方程（2）与方程（3）解的个数是相等的.

①m<-22时，则Δ>0，方程（3）有两解，三次函数y=ax3+mx（a>0）图像恰好存在两个内接正方形；

②m=-22时，则Δ>0，方程（3）有一解，三次函数y=ax3+mx（a>0）图像恰好存在一个内接正方形；

③-220）图像不存在内接正方形.