对一道数学高考题的多角度思考

蒋亚军

【摘要】本文研究了一道函数最大值的求解，从不同的角度进行了详细剖析以及对各种方法的教学进行了探究.

【关键词】换元；不等式；导数；向量

数学高考题，由于其内在的规律，或由于思考的角度不同，可能会有许多不同的解法.在平时教学中，教师应自觉探求多种解法，这样可以使我们的学生的基础知识、基本技能得到训练，能力得到增强，智力得到开发.在寻求多种解法时，要防止乱碰，而应注意分析，使问题的解决更有条理.下面就以一道高考题为例，探究其解法的多样性.

（2008年重庆高考题第5题）函数y=1-x+x+3的最大值是.

解法1 平方法.

y2=1-x+x+3+2（1-x）（x+3）（-3≤x≤1）

=4+2-x2-2x+3.

当x=1时，-x2-2x+3有最大值4.

∴y2最大值为8.

∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.

评注 平方法是处理根号问题最常用的方法，但却是考生嫌麻烦最易忽视的方法.本题平方后除从二次函数角度求最大值，也可用基本不等式ab≤a+b22求解.

解法2 换元法.

令1-x=m，x+3=n，（m≥0，n≥0），

则m2+n2=4，

∴1-x+x+3=m+n.

令m=2cosα，n=2sinα，0≤α≤π2，

∴m+n=2cosα+2sinα=22sinα+π4.

当α=π4时，m+n取得最大值为22.

∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.

评注 换元法是处理根号问题的第二个常用方法，形如y=ax+b+cx+d的形式一般都是换元转化成二次函数求解.本题换元后也可以用线性规划转化为直线与四分之一圆周相交求解.

解法3 基本不等式法.

由基本不等式a+b≥2ab，（a，b≥0）可推导得出

21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22，（当且仅当a=b时等号成立）.

也即有a+b≤2a2+b22.

∴1-x+x+3≤2（1-x）2+（x+3）22=22，

当且仅当1-x=x+3，即x=-1时等号成立.

评注 因不等式的变形形式较多，考生往往不能熟练运用，因此在平时教学中要多渗透各种形式，甚至把柯西不等式也介绍给学生，虽然考试说明不作要求，但是可以激发学生对不等式的学习兴趣.

解法4 导数法.

求导得y′=121-x·（-1）+12x+3.

y2单调递增22单调递减2

∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.

评注 导数法应该是对函数（可导函数）单调性、最值研究的万能方法，且导数法应用步骤层式化，因此复合函数的求导最好文科数学的教学也要渗透，所以运用导数研究函数的性质，学生在操作上还是比较容易的.

解法5 向量法.

y=1-x+x+3=1·1-x+1·x+3.

令m=（1，1），n=（1-x，x+3），

∴1-x+x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ，θ∈0，π4.

当m与n同向，即θ=0时，m·n取得最大，

∴[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.

评注 该解法巧妙地用“1”的代换将双根号与向量的数量积联系起来，解决起来非常方便.同时也让学生体会到数学知识之间的本质联系.若将题目变为求函数y=1-x+2x+3的最大值，此时平方法、基本不等式法就不能做了，换元法可以转化为椭圆，导数法作为万能方法仍然适用，但是向量法的解答将十分简单：

令m=（1，2），n=（1-x，x+3），

∴1-x+2x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ.

当m与n同向，即θ=0时，m·n取得最大，

[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养创造性思维能力.多做一些一题多解的练习题，对巩固知识，增强解题能力，提高学生学习成绩大有益处.