求函数解析式

樊宏伟

函数的表示方法有语言描述法、图示法、列表法、解析法，其中，解析法应用最为广泛.解析法是用函数关系式表示函数的方法，解析式简单明了，便于用数来研究函数.求函数解析式的方法有多种，常用的方法有下面几种：

一、代入法

已知函数f（x），g（x），求：f[g（x）].代入法就是将g（x）代入f（x）的x中去，并注意函数f[g（x）]的定义域.

例1 已知f（x）=x2+2x，求f（sinx）.

解 f（sinx）=sin2x+2sinx.

二、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法.

例2 已知f（x）是反比例函数，且过（1，2）点，求f（x）的解析式.

解 f（x）=kx（k≠0），则有2=k1，解得k=2.

所以f（x）=2x.

小结 我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果.类似的已知f（x）为一次函数时，可设f（x）=kx+b（k≠0）；f（x）为二次函数时，根据条件可设

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

②顶点式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），

③双根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

三、换元法

换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的.

已知f[g（x）]是关于x的函数，求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出f（t）的解析式，再用x替换t，便得f（x）的解析式.注意：换元后要确定新元t的取值范围.

例3 已知f（sinx）=sin2x+2sinx，求f（x）的解析式.

解 设t=sinx，则f（t）=t2+2t，所以f（x）=x2+2x.

四、消元法

消元法，指通过消除一些元素，求函数解析式的方法.

例4 设f（x）+2f1x=3x-1，求函数f（x）的解析式.

解 f（x）+2f1x=3x-1，①.令t=1x，则有f1t+2f（t）=3t-1，②，将t换为x，得f1x+2f（x）=3x-1，③.由①③联立方程组

f（x）+2f1x=3x-1，f1x+2f（x）=3x-1.解得f（x）=2x-x-13.

分析 如果将题目所给的f（x），f1x看成两个元素，那么该等式即可看作二元方程，根据题意，通过建立方程组，利用消元法求函数解析式.

五、赋值法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法.

例5 已知函数f（x）的定义域为R，并对一切实数x，y都有2f（x+y）=f（x）+3f（y）+x2-5xy-x，求f（x）的解析式.

解 令y=0，得2f（x）=f（x）+3f（0）+x2-x.

令x=y=0，得2f（0）=f（0）+3f（0），

所以f（0）=0，所以f（x）=x2-x，（x∈R）.

六、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法.

例6 已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-x，求f（x）的解析式.

解 y=f（x）是R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x）.即f（x）=-f（-x），当x<0时，得-x≥0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-（-x）]=-x2-x.

所以f（x）=x2-x，x≥0，-x2-x，x<0.

七、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法.

例7 （2012年全国卷）函数y=x+1（x≥-1）的反函数是（）.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥1）D.y=x2+1（x≥1）

解 由y=x+1（x≥-1），解得x=y2-1（y≥0）.所以函数y=x+1（x≥-1）的反函数是y=x2-1（x≥0）.因此选A.

八、抽象函数的解析式模型

抽象函数没有解析式，但很多抽象函数也是由有解析式的函数抽象出来的.

（1）函数y=f（x）满足f（x±y）=f（x）±f（y）.

解析式模型：正比例函数f（x）=kx.

（2）函数y=f（x）满足f（xy）=f（x）f（y）.

解析式模型：幂函数f（x）=xα，（α为常数）.

（3）函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）.

解析式模型：指数函数f（x）=ax，（a>0，且a≠1）.

（4）函数y=f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）.

解析式模型：对数函数f（x）=logax，（a>0，且a≠1）.

（5）函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）.

解析式模型：f（x）=tanx.

（6）函数y=f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0.

解析式模型：f（x）=cosx.

例8 （判断）函数y=f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0是（）.

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

用定义来推断较麻烦，用模型可得是偶函数.选B.