例谈画图建模在解决问题中的有效作用

喻志荣

日常教学中我们时常碰到一些抽象的数学问题，这让不少学生感到束手无策. 其实出现这些现象是由于学生缺乏必要的思维方法，不会将抽象的问题形象化、模型化. 实践证明：只要我们善于构建数学模型，将会很好地帮助我们解决实际问题. 《数学课程标准》中多次强调帮助学生构建数学模型从而有效解决问题，数学建模已成为数学学习的迫切需要. 所谓“数学模型”，就是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述. 广义上来说，一切数学符号、数学概念、数学公式、数学方程、数学图形等都可以称为数学模型. 在所有数学模型中，画图模型使用最为广泛，通过画图来构建数学模型对于帮助学生解决数学问题很有帮助. 下面是我几次感触较深的有关画图建模的教学片断：

片段一：线段图让数量关系一目了然

教学分数应用题时出现了下面这样一道题目：“一本书，小明已经看了40%，还剩60页，这本书多少页？”有一些学生的解法是：60 ÷ 40% = 150（页）. 我没有直接说出他们的错误，而是引导他们画出了下面的线段图：

从线段图上学生清晰地发现剩下的60页与40%是不对应的，60 ÷ 40%显然是错误的，正确的解法应是60 ÷ （1 - 40%） = 100（页）. 这里通过画线段图将数量关系明朗化，学生很容易找到某个数量的对应分率，从而顺利地求出单位“1”的量.

片段二：平面图让抽象意义跃然纸上

教学小数的意义时，不少教师是从生活中的“元角分”入手的，由十进制分数直接揭示小数的概念. 虽然学生也能掌握一些小数的表示方法，但总感觉得有点生搬硬套，对小数的意义缺乏本质的理解. 为了改变这一现象，我在教学时进行了一些变更. 考虑到“元”做单位的小数学生在生活中早有接触，我先出示0.3元，让学生说说含义并尝试着在一个正方形图中用阴影表示出0.3元.由于学生都知道怎样表示3角，所以很快想出了下面的表示方法.

（左图正方形表示1元）

接着我因势利导，问：“这个0.3元用分数怎么表示呢？”学生说：“用■表示. ”我又让学生说说图中的5格用小数和分数分别怎么表示，圖中的9格用小数和分数怎么表示. 通过观察和比较，学生搞清了小数和十进制分数之间的关系，从而很好地理解了小数的意义.

片段三：示意图让疑难问题水落石出

替换问题是一个较为复杂的问题，教学中尽管不少教师用多媒体演示得清清楚楚，但到了真正解题时仍然有不少学生感到束手无策. 其关键就在于学生的理解是建立在媒体演示的基础上，一旦离开了媒体的支撑，思维就无处着落. 为了解决这一问题，我改用画示意图的方法来帮助学生思考. 有一道题目是这样的：“有2个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是27个球，每个大盒比每个小盒多装3个，每个大盒和小盒各装多少个？”我让学生用大正方形表示大盒，用小正方形表示小盒，用小圆圈表示球，画出了下面的示意图：

通过画图将两种不同的盒子转化成同一种盒子，学生很轻易地得出7个小盒装了27 - 6 = 21（个）球，每个小盒装了21 ÷ （2 + 5） = 3（个）球，每个大盒装了3 + 3 = 6（个）球. 原本比较复杂的问题，通过画示意图，学生获得了思路，答案很快就浮出了水面.

通过以上实例足以看出画图对于解决数学问题十分有效. 通过画图可以帮助学生建立清晰的思维模型，学生的思路会豁然开朗，一些疑难障碍会迎刃而解. 那么日常教学中，作为一线的数学老师，应该怎样搞好画图建模呢？联系自身的教学实践我有以下几点思考：

一、要培养学生画图的意识

培养学生画图的意识是搞好画图建模的首要前提. 如果一名学生对画图抱着无所谓的态度，遇到数学问题只是死动脑筋而不愿意在纸上涂涂画画，这样的思维效率是很低的. 所以教学中我们要有意识地促使学生萌发画图的意识. 作为教师而言，我们既要多进行一些画图的演示，同时又要多让学生经历画图的过程，以刺激学生的感性神经，让学生感悟到画图在解题中的突出优势，体验到画图的神奇魅力. 从而使学生从内心真正萌发画图的意识.

二、要让学生掌握画图的方法

画图是一个模型和工具，是为了给学生的思考提供一个有效的路径，没有固定的模式，但必要的方法指导还是必要的. 如画分数应用题的线段图时，可以先让学生认真审题，找准单位“1”的量，然后用一条线段来表示，数量和分率不要混在一起，可以在线段的上侧标出分率，下侧标出数量，问题用“？”表示，这样画便于看清数量和分率的对应关系. 又如画立体图形的三视图时，看到的面用实线表示，看不到的面用虚线表示，题中的数据要在相应的线段上标出，而且单位必须是统一的.

三、要让学生养成良好的画图习惯

画图不仅是一种方法，更是一种习惯. 养成画图的好习惯，对于提高学生的问题解决能力会大有裨益. 为了使学生养成良好的画图习惯，我们在批改作业时不仅要看学生的列式解答，也要看学生的画图过程，要充分关注学生的思维脉络. 对于一些好的画图，可在全班展示，对于一些不规范的画图要耐心纠正. 有一些题目对画图依赖性很强，我们必须要求学生先画图再解答. 如一些稍复杂的分数问题要先画出线段图搞清量率对应关系后再解答，又如求立体图形的表面积的问题要先画出三视图，搞清求哪几个面后再解答. 只有养成良好的画图习惯，学生的思维才会有序推进，从而提高解题的效率.