浅议极限运算方法

薛秋

【摘要】在高等数学中，函数的极限是最基本、最重要的内容之一.由于初学者在学习时会碰到不少困难，且极限知识掌握与否直接关系到后继课程的学习，本文就电大的教学要求，谈谈极限的基本运算方法，以便帮助电大学生尽快地掌握极限的相关内容.

【关键词】高等数学；极限；运算方法

在高等数学中，极限是最基本、最重要的内容之一，由于极限的产生解决了数学中量的均匀变化与非均匀变化的矛盾；同时也解决了有限量与无限量的矛盾，从而使微积分中的一些基本概念有了更为确切的定义，因此成为研究高等数学的基本方法.本文根据电大的教学要求，谈谈极限的基本运算方法.

一、利用极限四则运算法则及初等函数的连续性求极限

1.当分母不为零时，可根据初等函数的连续性，用直接代入法求极限

例1 limx→12x2-x+53x+1=2-1+53+1=32.

2.当出现“00”型时，可用分解因式法或有理化方法消去零因子，然后求极限

例2 limx→3x2-5x+6x2-9=limx→3（x-2）（x-3）（x-3）（x+3）=limx→3x-2x+3=16.

例3 limx→01+x-1x=limx→0（1+x-1）（1+x+1）x（1+x+1）=limx→0xx（1+x）=limx→011+x+1=12.

3.当出现“∞∞”型时，可用分子分母同除以x的最高次方，然后求极限

例4 limx→∞3x2-2x+1x2+6x+5=limx→∞3-2x+1x21+6x+5x2=3.

4.当出现“∞-∞”型时，可转换成“00”或“∞∞”型，然后求极限

例5 limx→12x2-1-1x-1=limx→12-（x+1）x2-1=limx→11-xx2-1=limx→1-1x+1=-12.

5.当出现数列求和时，可先利用数列的求和公式将其变形，然后求极限

例6 limx→∞1+2+…+nn+2-n2=limx→∞n（n+1）2（n+2）-n2=limx→∞-n2（n+2）=limx→∞-n2n+4=-12.

二、利用两个重要极限求极限

例7 limx→4sin（x-4）x2-16=limx→4sin（x-4）（x+4）（x-4）=limx→4sin（x-4）x-4·limx→41x+4=1×18=18.

例8 limx→0ln（1+x）x=limx→0ln1+x1x=lnlimx→01+x1x=lne=1.

三、利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量这一性质求极限

例9 limx→0x3sin1x.

解 因为limx→0sin1x不存在，故不能直接用极限的四则运算法则求极限，注意到limx→0x3=0，

且sin1x≤1，所以limx→0x3sin1x=0.

例10 limx→∞x-1x2+x-5（2+cosx）.

解 因limx→∞x-1x2+x-5=0，且2+cosx≤3，所以limx→∞x-1x2+x-5（2+cosx）=0.

四、利用变量代换求极限

例11 limx→0arctanxx.

解 令t=arctanx，当x→0时，t→0，

所以limx→0arctanxx=limt→0ttant=1.

例12 limx→0xex-1.

解 令t=ex-1，则x=ln（t+1），当x→0时，t→0，

所以limx→0xex-1=limt→0ln（1+t）t=limt→0ln（1+t）1t=lne=1.

五、利用等价无穷小求极限

例13 limx→0ln（1+sinx）3arctanx.

解 当x→0时，有arctanx～x，ln（1+sinx）～sinx，

所以limx→0ln（1+sinx）3arctanx=limx→0sinx3x=13.

例14 limx→0sin6xsin3x.

解 当x→0时，有sin6x～6x，sin3x～3x，

所以limx→0sin6xsin3x=limx→06x3x=63=2.

【参考文献】

[1]李林曙，黎诣远.微积分[M].北京：高等教育出版社，2005（7）.

[2]柳重堪.一元函数微积分[M].北京：中央广播电视大学出版社，2000（7）.