数形结合能力与意识的培养策略探索

夏天雪兰

摘 要 数形结合是数学解题中常用的思想方法，对于高职校的学生来说，她们的基础知识比较薄弱，思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践和创新意识能力更差，通过数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，使数与形的信息相互渗透，从而很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

关键词 数形结合 图象 函数 应用

中图分类号：420 文献标识码：A

Exploration on the Developing Strategy of the Combination of

Figures and Graphs Capacity and Awareness

XIA Xuelan

(Wuxi Higher Health Vocational and Technical College, Wuxi, Jiangsu 214028)

Abstract The combination of figures and graphs is a very common way to solve mathematics problems. For the students of higher technology school, they are poor in the elements and ideation, operational capability, space imagination and much poorer in practice and innovation. The combination of figures and graphs makes the abstract problems into visual and vivid, meanwhile turns abstract thinking into imaginal thinking. The combination of figures and graphs makes the difficult problems solved in a neat and easy way.

Key words the combination of figures and graphs; graph; function; application

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合是数学教学中重要的基本思想方法之一，是数学的本质特征。华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观， 形少数时难入微。”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。所以在平时的教学中要有意识地对学生进行数形结合的训练，本文结合我校所用教材的实际情况，对数形结合思想的培养做了一些尝试，将此体会介绍如下。

1 要重视数学概念、法则、公式、定理的几何意义的教学

数学中的很多概念、法则、公式、定理都有一定的几何意义，要培养学生数形结合的思想，就要善于挖掘数学概念、法则、公式、定理的几何意义。在教学中引导学生深刻分析这些概念、法则、公式、定理与几何图形内在的本质的联系，从而可以提高听课效果，同时还可调动学生的学习兴趣和学习热情。例如：对于刚进入高职校的学生，我们在讲绝对值不等式的概念时，应该先给学生复习绝对值的几何意义，从而引出绝对值不等式的几何意义“||＜在数轴上表示数所对应的点到原点的距离大于， ||＞在数轴上表示数所对应的点到原点的距离小于”。 “数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的决定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。例如我们在讲集合运算时，如果借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，那么问题就会变得简化，运算就会快捷明了。

分析：先在数轴上表示出集合A、B的范围，再在图象上找出重合的部分就是A和B的交集。

2 要重视数学图象在基本初等函数性质上的应用

函数是贯穿数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。在数学教学中要注意培养学生看见函数能想到它的图象，函数的图象是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。例如我们讲解幂函数、指数函数、对数函数的性质时，如果利用图象帮助学生去理解这些函数的性质，通过比较，学生比较容易掌握知识点，从而也能较快地去记忆所学的知识点。

例如：比较下列各组数的大小：

（1）30.2和50.2 （2）0.33和0.35 （3）和

分析：如果借助于计算器很快就能知道答案，但在没有计算器的情况下，该如何解决呢？首先我们先找出每一组数的特点：可以把它们分别看成是幂函数、指数函数、对数函数随着自变量的取值来比较函数值的大小。根据分析画出相对应的简图就可以根据图象比较出大小。

这只是利用图象判断出函数的单调性，我们在解题时还可以利用图象判断函数的奇偶性、周期性、有界性等等。

3 要重视数学图象在高等数学中的应用

高职校中的高等数学课程课时偏少，教学内容不是很多，但学生普遍都感觉内容枯燥、单调。所以有的教师往往采用的方法是难的内容尽量避开不讲，较难的内容尽量将问题简单化，这样做就会使学生难以掌握到数学的精髓，难以欣赏到数学中的美。如果我们在教学中巧妙地利用数形结合，就会让学生轻松有趣地去学习高等数学，从而引导学生进行更深层次地去思考。例如我们在求函数极限时，就可以充分利用图象，借助于图象可以比较直观明了地看出函数值的趋向，从而求出函数的极限。来看看函数极限的例子。

例1：求函数 = 当时的极限？当时，函数的极限还存在吗？

分析：函数 = 是一个反比例函数，它的图象是以个双曲线，通过图象可以看出随着自变量的变化趋势，函数值的变化趋势。（如图所示）由图象可以看出当时，；当时，所以当，函数 。但当时，||，所以函数此时没极限。

通过图象分析，我们可以使一些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，从而使很多数学问题化难为易、化险为夷，同时也能让学生从中感受到其中的乐趣。

数形结合思想是渗透在整个教学内容之中的，学生对数形结合思想的掌握，要经历从模糊到清晰的阶段，教学中要根据各班学生的实际水平和个别差异，使他们萌发意识——形成意向——掌握深化，在数学思想方法的发展上更深入一步。这就要求我们在教学中做到：（1）适时渗透数形结合思想，尽量摆脱对代数问题的抽象讨论。更多地把代数里的东西用图形表示出来。（2）典型例题的分析讲解时突出数形结合思想。（3）精选一些练习题，让学生借助几何图形的性质解决数学问题，让学生在训练中逐渐领悟数形结合思想的实质。

总之，教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育。

参考文献

[1] 五年制高职数学教材（第二册）.苏州大学出版社.

[2] 程良炎.高等数学中数形结合教学模式的探讨.黄石理工学院学报.