巧用圆的平面几何性质处理解几问题

张海青

“圆”是一个特殊的图形，它有许多重要的性质.在解析几何中，涉及直线和圆的有关问题时，若能抓住题设中图形特征和数量关系，充分利用平面几何中圆的有关性质，常常可以得到简捷而巧妙的解法.现举以下几例来说明.

1.巧用“垂径定理”

例1:已知A（3，0）是圆x+y=25内的一个定点，以A为直角顶点作直角三角形ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程.

分析：B、C都为圆上的动点，若设出B、C的坐标，引进角参数，将导致繁复的运算.如果注意到由“垂径定理”可知OM⊥BC（O为原点），再结合∠CAB=90°，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|，即可迅速解题.

解：设M（x，y），连接OC，OM，MA，

则由“垂径定理”，

∵M为BC的中点

∴OM⊥BC

∴|OM|+|MC|=|OC|

∵在直角三角形ABC中，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|

∴|OM|+|AM|=|OC|

即x+y+（x-3）+y=25（图1）

∴M点的轨迹方程为x+y-3x-8=0.图1

2.巧用“切割线长定理”

例2：已知直线y=mx（m∈R）与圆C：x+y-6x+5=0相交于两点P、Q，则?=.

分析：将直线方程代入到圆方程（x-3）+y=4中，进行消元，利用韦达定理解题，运算较繁.注意到向量与方向相同，用“切割线长定理”来解题，可得以下两种简解.

解法一：过原点O作圆的切线，设切点为M、N，

则由“切割线长定理”知，|OP|?|OQ|=|OM|=|OC|-4=5

∵向量与方向相同，∴?=|OP|?|OQ|=5.

解法二：圆C与x轴有两个交点A（1，0）、B（5，0）

∵向量与方向相同，

∴由“切割线长定理”知，?=|OP|?|OQ|=|OA|?|OB|=5.

3.巧用“相交弦定理”

例3：已知f（x）=（x+2002）（x-2003）图像与x轴交于两点A、B，与y轴交于一点C，过A、B、C三点作一圆，则该圆与y轴的另一个交点D的坐标为.

分析：若写出圆的方程再求点D的坐标，将会导致繁复的运算.注意到A、B两点的指标分别为（-2002，0）、（2003，0），而点C的坐标为（0，-2002?2003），根据“相交弦定理”可得：|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，所以|OD|=1，从而D（0，1）.

例4：过原点O且方向向量为（m，1）的直线L与圆C：（x-1）+y=4相交于两点P、Q，则?=?摇?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇?摇.

分析：圆C与x轴交于两点A（-1，0）、B（3，0）.利用“相交弦定理”得|OA|?|OB|=|OP|?|OQ|，因而|OP|?|OQ|=3.注意到向量与方向相反，则?=-|OP|?|OQ|=-3.

4.巧用圆心角、圆周角等的性质

例5：设直线L：3x+4y+m=0与圆C：x+y+x-2y=0相交于P、Q两点，则当m为何值时，OP⊥OQ？

解：如图2，因圆C：x+y+x-2y=0过原点O，则∠POQ是圆C的圆周角，且为直角.根据“圆中90°的圆周角所对的弦是直径”可知PQ为圆C的直径，即直线3x+4y+m=0过圆心C（-，1），代入直线L方程得：3×（-）+4×1+m=0，∴m=-.（图2）

图2

例6：椭圆+=1的焦点为F、F，点P在椭圆上，当∠FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是.

图3

解：以FF为直径作圆x+y=5，与椭圆+=1联立，解得两曲线交点的横坐标分别为-和.由“圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆内角”这一性质可知，点P在椭圆的AB或CD弧线（如图3，在辅助圆内）上时，∠FPF为钝角，故点P横坐标的取值范围是-＜x＜.

例7：如图4，平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值.

解：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中，由正弦定理，有sin∠ACB=，其中R是△ABC的外接圆的半径.

可见，当R取最小值时，∠ACB取得最大值.

在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是与x轴的切点时，半径最小.故切点C即为所求.

由切割线定理，得OC=OA?OB=ab，

∴OC=x=，即点C的坐标为（，0）时，∠ACB取得最大值.

由以上几例可以看出，在解决与圆有关的问题时，充分挖掘圆的几何性质，再将几何条件代数化，既可以迅速获得解题途径，又可以减少解析几何的运算量.